专题3.15 探究向量关系式几何意义先分析（原卷版）.docx

《专题3.15 探究向量关系式几何意义先分析（原卷版）.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《专题3.15 探究向量关系式几何意义先分析（原卷版）.docx（10页珍藏版）》请在第一文库网上搜索。

1、专题15探究向量关系式，几何意义先分析【题型综述】探究向量关系问题解题策略：(1)“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化.其步骤为假设满足条件的元素向量关系存在，用向量的坐标运算，转化直线与圆锥曲线交点坐标的函数式，利用设而不求思想，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则向量关系存在存在；否则，向量关系不存在.(2)反证法与验证法也是求解探索性问题常用的方法.【典例指引】类型一探究向量式是否为定值例112015高考四川，文20如图，椭圆R0+当=1(曲0)的离心率是也，点P(0,1)在短轴8a2b22上，且尸CP。=1(I)求椭圆E的方程;(H)设O为坐标原点，过点P的动直线与椭圆交于A

2、、B两点.是否存在常数九使得QAOB+IPAPB为定值？若存在，求力的值；若不存在，请说明理由.【解析】类型二探究向量式是否成立X2V2例2.【2014高考湖南卷文第20题】如图5,。为坐标原点，双曲线：二亏一七二1(0,0)和4h椭圆G：F+=I(W20)均过点P(王)，且以G的两个顶点和C,的两个焦点为顶点的四%b23边形是面积为2的正方形.求G,cz的方程;是否存在直线/,使得/与C1交于A,B两点，与只有一个公共点，且o4+oA=ab?证明你的结论【解析】类型三探究向量式成立的条件例3【2013年高考，天津卷理】设椭圆=+g=1(4b0)的左焦点为尸，离心率为且，过点尸且与X轴ab3垂

3、直的直线被椭圆截得的线段长为亚.3(I)求椭圆的方程；(II)设A,B分别为椭圆的左右顶点，是否存在过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C,D两点，且ACDB+AICB=S,若存在，求k的值，不存在，说明理由.【解析】类型四利用向量探究曲线过定点221例4.(2012福建理19)如图，椭圆石：=+2=1(。匕0)的左焦点为片，右焦点为居，离心率。ab2过片的直线交椭圆于A8两点，且AABF?的周长为8。(I)求椭圆上的方程。(II)设动直线/:=丘+?与椭圆E有且只有一个公共点尸，且与直线X=4相交于点Q。试探究:在坐标平面内是否存在定点M,使得以PQ为直径的圆恒过点M?若存在，求出点M的坐标：若

4、不存在，说明理由。【解析】【扩展链接】1.设圆锥曲线C的焦点F在X轴上，过焦点F且斜率为后的直线/交曲线C于A,8两点，若AF=FB(20),M=+F-1.2+12 .在圆锥曲线中，过焦点F不垂直于坐标轴的弦为AB,其垂直平分线和焦点所在的坐标轴交于R,则FReAB2,2223 .已知椭圆点十方=1(。:b0)的两个焦点分别为6(-c,0)和K(C,0)(c0),过点E(O)的直线与椭圆相交于A,3两点，若KA=468。工1)，则直线一定过(0,与或(0,一份.4 .如果平面内有O,A,B三点不共线，设SMQB=；J1aI丽)一(次砺)2.【新题展示】1 .【2019湖北恩施2月质检】已知抛物

5、线C：y2=2p(p0)的焦点为凡其准线1：%=-1与%轴的交点为K,过点K的直线2与抛物线C交于4B两点.(1)求抛物线C的方程；(2)点4关于%轴的对称点为O,证明：存在实数(0,1),使得=t+(1-t).【思路引导】(1)根据抛物线的准线为直线1：x=-1,可求出p,进而可得抛物线方程；(2)先设直线2的方程为=my-1,xpy1)f(x2,y2),联立直线与抛物线方程，由韦达定理，求出直线Bo恒过定点F,进而可证明结论成立.X2y22 .【2019黑龙江齐齐哈尔一模】已知。为坐标原点，椭圆Co+=1(b0)的左、右焦点分别为a2b2R(-c,0),F2(GO).过焦点且垂直于%轴的直

6、线与椭圆C相交所得的弦长为3,直线y=-书与椭圆C相切.(1)求椭圆C的标准方程；(2)是否存在直线2：，=女。+。与椭圆。相交于瓦。两点，使得(F)一血)F椭圆C的焦点在%轴上，左、右顶点分别为4Bf离心率为短轴长为4.平行X轴的直线2与椭圆C和圆。在y轴右侧的交点分别为MF,直线AE与y轴交于点M,直线BE与y轴交于点N.(I)求椭圆C的标准方程；(II)当12F而前W16时，求厂的取值范围.【思路引导】(1)根据椭圆的几何性质，得到关于。力的方程，求得结果；(2)解法一：假设历程和瓦尸坐标，利用以E=Jb得到M和N的坐标，从而将热薪转化为关于r的式子，求得r范围；解法二：假设AE方程和E

7、,F坐标，与椭圆方程联立解出E点坐标，进一步推导出M,N坐标，将扁.嬴转化为关于r的式子，求得r范围.4.12019河北衡水中学摸底】已知点F是抛物线cJ=2px(p0)的焦点，若点P(X。网在抛物线C上，且IPF1=：p.(1)求抛物线C的方程；(2网直线1/=01丫+1(111对与抛物线(：相交于人两点，问：在X轴上是否存在定点D(t,O)(其中tw),使得向量r-DADB一彳+广与向量OD共线(其中O为坐标原点)？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由.DADB【思路引导】(1)求得抛物线的焦点和准线方程，运用抛物线的定义可得P的坐标，代入抛物线方程，解得p=2,进而得到ffDAD

8、B-抛物线的方程；(2)在X轴上假设存在定点D(t,0)(其中two),使得币+币与向量OD共线，可得X轴平分NADB,DADB设A%),B(x2,y2),联立=my+1和y2=4,根据勺+k2=0恒成立，运用韦达定理和直线的斜率公式，化简整理可得m,t的方程，求得t=-1,可得结论.【同步训练】1 .已知椭圆C：1+1(abO)的上下两个焦点分别为R,F2,过点B与y轴垂直的直线交椭圆C于M,N两点，AMNFz的面积为y，椭圆C的离心率为Y!2(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知O为坐标原点，直线1：y=kx+m与y轴交于点P,与椭圆C交于A,B两个不同的点，若存在实数,使得示+丽=4而，求

9、m的取值范围.【思路点拨】(1)根据已知设椭圆的焦距2c,当y=c时，IMNI=IX1X2=空，由题意得，AMNF2的面积a为1X1MN1XIBF2=C1MNI=生旦：=F,又:二业解得a、b即可.2 aJa2(2)设A(x,yi),B(X2y2)，P(。，yo)，分类讨论：当m=0时，利用椭圆的对称性即可得出；mO时，直线AB的方程与椭圆的方程联立得到AO及根与系数的关系，再利用向量相等，代入计算即可得出.【详细解析】2.已知F,F2分别是椭圆Ci+i=1(abO)的两个焦点，P(1,返)是椭圆上一点.，且身PF1a2b22FiF2,PF2成等差数列.(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知动直

10、线1过点F2,且与椭圆C交于A、B两点，试问X轴上是否存在定点Q,使得赢丽=-/恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.【思路点拨】(1)根据椭圆的性质及.等差数列性质得出a=区,把P点坐标代入椭圆方程列方程组解出a,b得出椭圆方程；(2)设Q(m,0),讨论直线1的斜率，求出A,B坐标，列方程解出m.【详细解析】223.在平面直角坐标系Xoy中，椭圆C：1-+-=(abO)的一个焦点为F】(-3,O),M(1,y)(ya2b20)为椭圆上的一点，AMOFi的面积为S.4(1)求椭圆C的标准方程；(2)若点T在圆2+y2=1上，是否存在过点A(2,0)的直线1交椭圆C于点B,使乔

11、豆(领+瓦)？5若存在，求出直线1的方程；若不存在，请说明理由.【思路点拨】由已知列式c=5,Ixxy=I,得a?,b?吗(2)设直线1的方程为：y=k(x-2),A(x,y),B(x2,y2)一心，y+y2=k(X1+X2)-4k=,1+4k2k(x得(+42)2-16bO)的离心率为YW,以椭圆的左顶点T为圆心作圆T：(x+2)2+y2=r2229ab乙(r0),设圆T与椭圆C交于点M,N.(1)求椭圆C的方程；(2)求亍jj苏的最小值，并求此时圆T的方程.【思路点拨】(1)运用椭.圆的离心率公式和顶点坐标，结合a,b,C的关系，可得椭圆方程；(2)设M(m,n),由对称性可得N(m,-n

12、),代入椭圆方程，再由向量数量积的坐标表示，转化为关于m的二次函数，配方，结合椭圆的范围，可得最小值，进而得到M的坐标，可得圆的方程.【详细解析】22I-6.已知椭圆E+勺1QbO)的离心率巳山，以上顶点和右焦点为直径端点的圆与直线y-2=0相azbz2切.(1)求椭圆的标准方程；(2)对于直线1：y=x+m和点Q(0,3),椭圆C上是否存在不同的两点A与B关于直线1对称,且3QAQ扶32,若存在实数m的值，若不存在，说明理由.【思路点拨】(1)由椭圆的离心率巴二巨，得b=c,写出以上顶点和右焦点为直径端点的圆的方程，再由点到直线的距离列式求得b,c的值，结合隐含条件求得a,则椭圆方程可求；y=-+n(2)由题意设A(x,y),B(x2,y2),直线AB方程为：y=-+n.联立，量2消y整理可得：3x21+y=1-4nx2n2-2=0,由A0解得n的范围.再由根与系数的关系结合中点坐标公式求得直线AB之中点坐标，代入直线AB,再由点P在直线1上求得m的范围，最后由3赢瓦=32求得m的值.【详细解析】227 .已