专题3.9 曲线是否过定点可推可算可检验（原卷版）.docx

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1、专题9曲线是否过定点，可推可算可检验【题型综述】直线过定点问题在全国卷近几年高考中出现的频率较低，是圆锥曲线部分的小概率考点.此种平民解法.思维上比较接地气，但是实际操作上属于暴力美学范畴.定点问题是常见的出题形式，化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量.直线过.定点问题通法，是设出直线方程，通过韦达定理和已知条件找出k和m的一次函数关系.式，代入直线方程即可.技巧在于：设哪一条直线？如何.转化题目条件？【典例指引】22例1、(“手电简模型)已知椭圆C：土+二=1若直线/：y=Ax+机与椭圆C相交于A,B两点(A,B

2、43不是左右顶点)，且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点.求证：直线/过定点，并求出该定点的坐标.解：设Aa,y),3(乙,%)由1得(3+4F)R2+8加区+4(z-3)=0,3x+4y=12=64m3+4/3+4/3+4公整理得：7帆2+166女+442=0,解得：=-2w2=-,且满足3+4公一zw2o当加二一2&时，1y=伙X-2),直线过定点(2,0),与已知矛盾；2女22当An=-亍时，.y=k(x-),直线过定点(1,O)综上可知，直线/过定点，定点坐标为(一,0).7k2-16(3+4i12)(m2-3)0,3+4k2-m208/欣4(m2-3)3(m2-4k2)3+4公3+42

3、2”.“2-3+4Fy必=(例+加)(2+加)=k2x1x2+mk(xi+x2)+aw2=.以AB为直径的圆过椭圆的右顶点0(2,0),且阳。原D=1,yiy2+x1x2-2(X+x2)+4=O,3(团24公)4加3)6mk方法总结：本题为“弦对定点张直角”的一个例子：圆锥曲线如椭圆上任意一点P做相互垂直的直线交圆锥曲线于AB,则AB必过定点W)JOI2一?)(参考百度文库文章：”圆锥曲线的弦对定点张a+ba-+b直角的一组性质”)模型拓展：本题还可以拓展为“手电筒模型：只要任意一个限定AP与BP条件(如攵AP&/=定值，&ap+&p=定值)，直线AB依然会过定点(因为三条直线形似手电筒，固名

4、日手电筒模型).此模型解题步骤：Step1:设AB直线y=h+m,联立曲线方程得根与系数关系，求出参数范围；Step2:由AP与BP关系(如原p左BP=-1)，得一次函数女=/(?)或者加=f(%);Step3:将Z=/(加)或者=/(Z)代入y=Ax+加，得y=G(x-x定)+y定.例2、(切点弦恒过定点)定如下结论:“圆/+2=/上一点P(Xo,y0)处的切线方程为Xoy+y0y=r2,类比也有结论:“椭圆0+2r=1(。b0)上一点尸(XO,%)处的切线方程为誓+誓=1”,过椭圆C：abab2二+V=1的右准线/上任意一点M引椭圆C的两条切线，切点为A、B.4.(1)求证：直线AB恒过一

5、定点；(2)当点M在的纵坐标为1时，求AABM的面积.【解】(1)设M(竽J)(fR),A(1(32),则MA的方程为午+MN=I3_3丁点M在MA上，石-X+(y=1同理可得-工2+少2=1由知AB的方程为乎X+(y=1,即X=J(I-(y)易知右焦点F(3,0)满足式，故AB恒过椭圆C的右焦点F(3,0)1Y2(2)把AB的方程x=3(1-y)代入一+y2=1,化简得7y-6y-1=041431IABI=+3逝28=16又M到AB的距离d=-=77m3ABM的面积S=-ABd=221方法点评：切点弦的性质虽然可以当结论用，但是在正式的考试过程中直接不能直接引用，可以用本题的书写步骤替换之，

6、大家注意过程.22例3、（相交弦过定点）如图，已知直线1：X=加y+1过椭圆C=0+27=13bO）的右焦点F,且ab交椭圆C于A、B两点，点A、B在直线G:x=/上的射影依次为点d、E.连接AE、BD,试探索当m变化时，直线AE、BD是否相交于一定点N?若交于定点N,请求出N点的坐标，并给予证明；否则说明法一：尸（1,0）,%=（2,0）先探索，当m=0时，直线1_1ox轴，则ABED为矩形，由对称性知，AE与2121BD相交于FK中点N,且N（巴士,0）,猜想：当m变化时，AE与BD相交于定点N（H,0）22证明：设Aa,必）,8（工2，%），石52,%）,。（。2,%）,当m变化时首先A

7、E过定点NjQ%y+即(/+。2加2)y2+2m力2y+(一。2)=08分bx+ay-ab=OA=4a2b2(a2+m2b2-1)0(.a)又K-fK八a1-EN-a2吵FCi2.、工一(y+%)一町跖而KAN-KEN=-22j=0-ai-1、F-(F一g)(这是：区，(%+%)一冲M_a2-1.Imb2、h2(-a2)2a2+m2h2a2m2b2(a2-)(mb2-mb1)八、=-=0)KAN=KEN，:A、N、E三点共线，同理可得B、N、D三点共线AAE与BD相交于定点N(2土!,0)2法2：本题也可以直接得出AE和BD方程，令y=0,得与X轴交点M、N,然.后两个坐标相减=0.计算量也不

8、大.方法总结：方法1采用归纳猜想证明，简化解题过程，是证明定点问题一类的通法.这一类题在答题过程中要注意步骤.2例4、已知椭圆C：+/=1,若。直线hx=f(f2)与X轴交于点T,点P为直线/上异于点T的任一4点,直线PA,PAz分别与椭圆交于M、N点，试问直线MN是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论.方法1：【思路引导】点A|、A2的坐标都知道，可以设直线PA|、PA2的方程，直线PAI和椭圆交点是A(-2,0)和M,通过韦达定理，可以求出点M的坐标，同理可以求出点N的坐标.动点P在直线1x=f2)上，相当于知道了点P的横坐标了，由直线PA1、PA?的方程可以求出P点的纵坐标，得到两条直线的斜

9、率的关系，通过所求的M、N点的坐标，求出直线MN的方程，将交点的坐标代入，如果解出的t2,就可以了，否则就不存在.y=ki(x+2)解:设Ma,y),N(%,%)，直线A1M的斜率为尤，则直线AM的方程为y=A0+2),由；.v+4y=4消y整理得(1+4*)x2+16k2x+16后-4=07种是方程的两个根,T=苏则寸需，X=急即点M的坐标为qT)航2一2-41c同理，设直线AzN的斜率为k2,则得点N的坐标.为(竺一,一H)1+4抬1+44%=占6+2),力=占(-2)勺二区=一2,.直线MN的方程为：B1二三二21k+k?tx-xix2-x1.令y=0,得X=二.7M,将点M、N的坐标代

10、入，化简后得：X=-,-y2t又.f2,.02.tt33方法2,先猜想过定点，设弦MN的方程，得出AM、A2N方程，进而得出与T交点Q、S,两坐标相减=().如卜:设N：x=my+百,联立椭圆方程，整理：(4m2)y?+2当根-1=0;A求出范围；设M(X1,y),N(%,%)，得直线方程：1AiM:y=-(X-2)%:y=*-2)；若分别于/相较于Q、S：易得Q会”2),s,瓷2)3*=(2)-号“-2)-ZX2一Z整理二一4加%为+2(，一百)(y+%)+(技一4)(%一%)(x1-2)(x2+2)韦达定理代入=72(八-4)+(技一4)(弘%)(x1-2)(x2+2)4+加显然，当r=逑

11、时，猜想成立。3方法总结：法2计算量相对较小，细心的同学会发现，这其实是上文物点弦恒过定点”的一个特例而已.因此法2采用这类题的通法求解，就不至于思、路混乱了.相较法1,未知数更少，思路更明确.方法点评：相交弦性质实质是切点弦过定点性质的拓展，结论同样适用，但是具体解题而言，相交弦过定点涉及座标较多，计算量相对较大，解题过程一定要注意思路，同时注意总结这类题的通法.例5、(动圆过定点)已知椭圆c：t+fa2b2=(ab)的离心率为孝，并且直线y=+b是抛物线y2=4x的一条切线.(I)求椭圆的方程：(H)过点5(0,-1)的动直线1交椭圆C于A、B两点，试向：在坐标平面上是否存在一个定点T,使

12、得3以AB为直径的圆恒过点T?若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由.解：由F消去y得：Y+(2Z,-4)x+Z=0y=4x因直线y=x+b与抛物线y?=4X相切=（2b-4）2-4b2=0.b=e=-=-,2=2+c2,=-,.=2,故所求椭圆方程为二+/=1()当1与X轴a2a222平行时，以AB为直径的圆的方程：x2+(y+)2=2当1与X轴平行时，以AB为直径的圆的方程：X2+/=1,由V+(y+$2=($2解得卜二21Iy=I+y=1(即两圆相切于点(0,1)因此，所求的点T如果存在，只能是(0,1).事实上，点T(0,1)就是所求的点，证明如下.当直线1垂直于X轴时，以AB为

13、直径的圆过点T(0,1)若直线1不垂直于X轴，可设直线1：y=kx-3y=-,消去y得：（18/+9）/-12履-16=0Jr21一+y=1.22k记点4(再，了1)、8(,刈)，则,xi+x2=；18&+9又因为7X=（x”y1）,7B=（x,y,7）,-16K，=;-18公+9所以71TB=xix2+（yi-1）（必T）=1x2+（3-16=（1+A2）XX9k（X+）+（1+公）18公+9-32k16八,H=018公+99TATB,即以AB为直径的圆恒过点T(0,1),故在坐标平面上存在一个定点T(0,1)满足条件.方法总结：圆过定点问题，可以先取特殊值或者极值，找出这个定点，再证明用直径所对圆周角为直角.例6、如图，