专题2.14 等或不等解存在转化值域可实现（解析版）.docx

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1、专题14等或不等解存在，转化值域可实现【题型综述】导数研究方程的根或不等式的解集利用导数探讨方程-g(M=O解的存在性，通常可将方程转化为F(X)=g(M,通过确认函数f(x)或g(M的值域，从而确定参数或变量的范围；类似的，对于不等式/(x)-g(用)O(O),也可仿效此法.【典例指引】例1.已知函数/(x)=(1)若关于X的方程/(x)-3、-加=0在x1,+8)上有解，求实数加的最大值；(2)是否存在Xo0,使得/(%)=3与成立？若存在，求出与，若不存在，说明理由；【思路引导】(1)方程在x1,+8)上有解，等价于“力3=机有解，只需求“力3X的最大值即可；(2)假设存在与0,可推导出

2、矛盾，即可证明不存在.试题解析：(1)因为/(x)=-f0(x1),可知/(力1+8)上递减，所以工)一3、在1+)上递减，其(+)555最大值为所以m-。寸有解，”的最大值-三.222(2)不存在.假设存在毛0,则03飞1,由八%)=3%成立,得0Nv1,解得与七VO矛盾.故毛+12不存在吃0,“可单调递增；当XU1,时，,(x)0,Xx(1s4oo),尸(x)在(1+)上递增.假设存在区间肛Tq(1),使得函数产(X)在见T上的值域是左(加+2)：可+2),F(w)=v-m1nm+2=r(w+2)F(w)=n2-n1nn+2=Zr(w+2)问题转化为关于X的方程V-XInX+2=MX+2)

3、在区间(1,+oo)上是否存在两个不相等实根,即方程Z=个;+2在区间(1+0)上是否存在两个不相等实根,z(x)=-+2，X(1,+8)，设P(X)=,x(1,+)、2(2x-1)(x+2)/、贝UP(X)=2x+3=-O,x(1,+oo),故P(X)在：(1,+8)上递增，学&科网故P(X)P=0,所以(力0,故MX)在区间(1,+oo)上单调递增,故方程k=X个;+2在区间(1+o0)上不存在两个不相等实根，综上，不存在区间mq(1,+oo)使得函数F(X)在区间m,可上的值域是M机+2),M+2).点晴：(1)解决导数综合题时，函,数的单调性、.极值是解题的基础，在得到单调性的基础上经

4、过分析可使得问题得以解决。(2)对于探索性问题，在求解的过程中可先假设结论成立，然后在此基础上进行推理，看能否得到矛盾，若得到矛盾，则说明假设不成立；若无矛盾出现，则说明假设成立，从而说明所证明题成立。例3.已知函数为常数f(x)=1n(-+-ax)+2-az(a0)22(1)当y=f(x)在X=：处取得极值时，若关于X的方程f(x)-b=0在0,2上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围；(2)若对任意的a(12),总存在x使不等式%)111佰2+22-3)成立，求实数m的取值范围.【思路引导】(1)对函数f(x),令f=0,可得a的值，利用导数研究f(x)的单调性，然后求得f(x)的最

5、值，即可得到b的取2值范围；(2)利用导数求出f(x)在上的最大值，则问题等价于对对任意a(1,2),不等式士+丁卜1-a+2a-3)成立，然后构造新函数h(a),再对h(a)求导，然后讨论m,得出h(a)的单调性，即可求出m的取值范围.试题解析：a/af(x)2x-aj-1-a=0)11.2x(2-1)(1) 1*ax21,即a2=(b又a0所以a=2,此时f(x)=,所以1-a1*2x2xeOj上递现Xw2上递增，1 35八31又f(0)=In-,f1-)=-,f(2)=In2,所以-；b4In?小a2ax2+(2-a2)xx2ax-(a2-2)|(2)f(x)2x-a=-=1+ax1+a

6、x1+axm.za?21(3-2)(a1)a21因为1a2,所以-0.即m(a22a-3)成立、112设h(a)=In1-+-a)+1-a-m(a2a-3)(1a2),m1.1-a-2m(aI)2则h(a)=1-2ma-2m=1a1+a当m0时，h(a)0，所以h(a)在区间(1,2)上单调递减，此时h(a)O恒成立，故必札因为(a+1)24a若m可知h(a)在区间(1,2)上单调递增，在此区间上有h(a)h(1)=O满足要求8若-jm0,可知h(a)在区间卜min-1-,21)上递减，在此区间上有h(a)O恒成立相矛盾，所以实数m的取值范围是(-8,-；.学&科网点睛：本题主要考查函数的单调

7、性及恒成立问题，涉及函数不等式的证明，综合性强，难度较大，属于难题.在处理导数大题时，注意分层得分的原则，一般涉及求函数单调性时，比较容易入手，求导后含参数的问题注意分类讨论，对于恒成立.的问题，一般要构造新函数，再利用导数求出一函数单调性及最值，涉及到的技巧较多，需多加体会.【新题展示】1.12019山东枣庄上学期期末】已知f()=eX-a2(aR).(I)求函数f()的极值；(II)若方程f(x)=x+1仅有一个实数解，求a的取值范围.【思路引导】先根据题意，求出f()=e*-2a,再求出f(x)=a-2a，然后对a进行讨论，求得f()的单调性,然后取得极值.(IDf(x)=x+1仅有一个

8、实数解,即F(x)=eX-a2-x-1有唯一零点，然后求得F(x)=ex-2a-1,F,(x)=ex-2a.再对a进行讨论，讨论单调性，求得f(x)的最小值，再利用零点存在性定理，最后求得a的取值.【解析】f()-ex-2ax4()=ex-2a当a0f(x)0,f()=e“-2ax在(-8,+8)上是增函数,所以，函数f&)没有极值.(2)若a0,f()Ox0xIn2ar所以f(x)在(-8,1n2a)是减函数，在(n2a,8)是增函数所以f(x)在X=n2a取极小值，极小值为f(1n2a)=2a(1-1n2a)(H)f(x)=x+1仅有个实数解,即F(x)=e-a2+1有唯一零点.F(x)=

9、ex-2ax-1zF()=ex-2a当a0,f(x)6此时F(x)在R上递增，因为F(O)=0，所以在(一,O),F()0,F(x)递增,F(x)F(O)=0,当X=O取等号，所以a礴足题意：当aOw,f(x)x0=In2a所以F()在(-oo,n2a)递减，(In2a,+8)上递增；F()min=F(12a)=2a-2a1n2a-1令g(a)=2a-2a1n2a-1(aO),g(a)=-21n2a此时当aW(0,3上，g(a)O,g(a)递增；”1aW(,+8)上，g(a)O,g(a)递减；g(a)g(H=。当且紧当a=权等号,I ,所以(1)当a(0,),2a0,且F(In2a)=g(a)

10、0II 11因为In1一(利用：当XW1时，Inxx-1),所以0,F(1n2a)0产仅)递增：当x(x(),O),F(x)0,中)递增；于是F(XO)F(O)=O且当X-8,F(x)-8由零点存在性定理：必然存在一个XiW(-8,X。)使得F(X1)=O此时，F(X)存在两个零点XO,可见0a：不满足题意；(2)当a/寸，1n2aO,F(12a)=g(a)0此时In2a2a-1(2a1)2019广西柳州毕业班1月模拟】已知函数f(x)=Inx+-X2+ax(aR),g(x)=ex+-2-x22(1)当a=-4时，求函数f(x)的单调区间；(2)定义：对于函数f(x),若存在x0,使f(x0)=xtj成立，则称X。为函数f(x)的不动点.如果函数F(x)=f(x)-g(x)存在不动点，求实数a的取值范围.【思路引导】(1)将a=-4代入，结合导函数，判定单调区间，即可。(2)用X表示a,构造函数h(x),求导，判定原函数的单调性，计算最值，计算a的范围，即可。-2a(2a+1)-10(这里利用X1/X2)由零点存在性定理：必然存在唯一X。W(1n2a,2a+1),使得F(Xo)=O此时在(-8,0)F(x)0,F(X)递增；在9,x0),F(X)0,F(x)递增可见F(Xo)RO)=。，目当