专题3.1 待定系数求方程几何转至代数中（解析版）.docx

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1、专题1待定系数求方程，几何转至代数中【题型综述】求圆锥曲线方程的策略一般有以下几种：几何分析法+方r程思想；设而不求+韦达定理；第二定义+数形结合；参数法+方程思想。几何分析法，利用.图形结合圆锥曲线的定义与几何性质，分析图中已知量与未知量之间的关系，列出关于方程中参数的方程，解出参数值即可得到圆锥曲线方程，要求平面几何中相似等数学知识必须十分熟练。设而不求、韦达定理是解圆锥曲线问题的通性通法，块点是计算量较大，费时费力，容易出错，通常根据题设条件，设出点的坐标和直线方程，将直线方程代入曲线方程，化为关于/的一元二次方程，利用韦达定理用参数表示出来，根据题中条件列出关于参数的方程，通过解方程解

2、出参数值，即可得出圆锥曲线的方程。不管是哪种方法，最终都要列出关于圆锥曲线方程中的参数的方程问题，通过解方程解出参数值，即可得到圆锥曲线方程，故将利用平面几何知识和圆锥曲线的定义与性质是将几何问题转化为代数问题，简化解析几何计算的重要途径.【典例指引】类型一待定系数法求椭圆方程例1【2014年全国课标,理20】设耳，鸟分别是椭圆/+%=1(gb0)的左右焦点，M是C上一点且M居与X轴垂直，直线ME与C的另一个交点为N.(I)若直线MN的斜率为?，求C的离心率；(H)若直线MN在y轴上的截距为2,且IMM=5ZN,求,b.及3【解析】(I)由题意得：耳(一C,0),M(c,-)YMN的斜率为巳a

3、4b23r1.旦=巳，又/=+02,解之：e=或一2(舍)2c4a23 1故直线MN的斜率为2时，。的离心率为上.4 2(H)(J1何分析法)依据题意，原点。为的中点，_1X轴，：,M片与y轴的交点P(0,2)是线段的中点，1yIM=-=2OP=4,即Z=8,MN=5KN,IMEI=46N,过N作NHIX轴于H,则AN46SAME6,.M=g=M1jMF24K1IMK144设NaPT),则一C-Xo=IHE1=11耳内I=1X2c,44Xo=_|c=_IJa2_从,(ya2-b2)2*-X1-7=1aZr联立解得，q=7=27.(设而不求法)依据题意.原点。为F:的中点，MR与I轴垂直,所以宜

4、竣MR与Iy轴的交点P(。，2)是线段M品的中点，故IMF2=9=2OP=4.由IMN1=5RMF*=4FV.2设M(jIy1)X(x2.y2y且F【=(j0)易得Iy1=-4%,由趋意.宜线MF1的斜率A=可设直线ME的方程为=(y-1)与椭网+=I联立消K得2-h2c2y2-b2c2y-A40,则ZabV4w+w=-3w=.WW-4乂=：1；一消去W得16/-3602-9右、2=0,乂/小=4，4a+c4acc2-S代入解得=7.-27.方法四（相关点法）依据题意，原点。为曰巳的中点.3已与工轴垂直,所以直线MF1与J轴的交点P（02）是线段XfF1的中点，故IMF2=,=4即=,必.由I

5、M=5r得IPE1=，321F1XI.设、（川）且FN-J0）,易知WV0,则二=一丁J代人佛TW=2,1=7,qr21圆方程得J+=14ab*乂hr4aa?/)2代人上式.解得=7.h=2j7.点评解析法是求解圆锥曲线问题的基本方法之一.其思路清晰、简单但运算量较大如方程的根的求解；消参法相对解析法而言.避免了方程的根的求解.宜接利用韦达定理及已知根与根之间的关系消去根参数即可；第二定义法是解决圆锥曲线问题的有效方法之一,尤其是过焦点的直线与圆锥曲线相交的问题.其还原了圆锥曲线的几何本质；参数方程法的合理的使用，可有效的简化繁难的圆锥曲线的计算.类型2参数法求椭圆方程/V2例2.12015高

6、考安徽，理20】设椭圆E的方程为+方=1(0b0),点O为坐标原点，点A的坐标为(,0),点B的坐标为(0),点M在线段AB上，满足忸M=2MA,直线OM的斜率为至.(I)求E的离心率e；7(II)设点C的坐标为(0,-6),N为线段AC的中点，点N关于直线AB的对称点的纵坐标为耳，求E的方程.【解析】由题设条件知，点M的坐标为(2J份，乂%,=好，从而2=好，进而得33102a10,/7a=加b,c=yja2-b2=2b,故e=.a5(II)(参数法)由题设条件和(I)的计算靖果”,得，直线AB的方程为:+?=1,点N的坐标为y5bb解得(争；b),设点N关于直线AB的对称点S的坐标为(x1

7、,-),则线段NS的中点T的坐标为bi-b+).又点T在直线AB上,J1卜戏eAABb=3,所以。=34，故椭圆E的方程为二+=1.459(几何分析法)设N关于AB的对称点为S,ZBAS=ZBAC,根据椭圆的对称性知，/BAO=NCAO,ZSAB=2ZB0A,由题设条件和(I)知，a=Mb,AsinZBAO=-,cosZBO=-,OoZBAO30%,626sinZBAS=sn(2ZBAO),ZASB0)的焦点F作斜率分别为勺/2的两条不同的直线0A，且K+%2=2,与E相交于点A,B,4与E相交于点C,D.以AB,CD为直径的圆M,圆N(M.,N为圆心)的公共弦所在的直线记为/.(D若匕0,e

8、0,证明；FMFN2P2；75(II)若点M到直线/的距离的最小值为比二，求抛物线E的方程.【解析】(1)依题意，抛物线E的交点为尸(0,),直线4的方程为y=+,=kj由0,k20Zh,所以0占=妁上空=，故FMFN0,所以点M到百线1的距离d=一1时，1取最小值2.由485题设，=-.所以p=8,故所求抛物线E的方程为M=I6y855类型4待定系数法求抛物线方程例4(2012全国课标理20.).设抛物线C：f=2py(0)的焦点为/，准线为/,A为C上一点,已知以尸为圆心，4为半径的圆尸交/于8,0两点.(I)若NBFD=90o,ABD的面积为42,求的值及圆尸的方程；(II)若A,B,尸

9、三点在同一一条直线机上，直线与m平行，且与C只有一个公共点，求坐标原点到加，距离的比值.【解析】设准线/于y轴的焦点为E,圆F的半径为r,则FE=p,FA=FB=FD=r,E是BD的中点，(I)VZBFD=90,IE4=FB=FD=2p,IBDI=2,设A(X0,%),根据抛物线定义得，IFA1=5+%,A8。的面积为4,SMa=g130|(yo+)=gx2x&=4&,解得=2,F(0,1),FAI=22,圆F的方程为：x2+(y-1)2=8;(II)【解析1A,B,/三点在同一条直线加上，48是圆尸的直径，ZADB=90.1/O由抛物线定义知IAoI=IEA1=I1AB1,.NABD=30,

10、加的斜率为或一 直线相的方程为：y=组1+旦，原点到直线M的距离4二组，32,4r设直线九的方程为：y=半x+b,代入f=2Py得，x2,x-2pb=0,.与C只有一个公共点，=p2+8p=0.-b= 直线的方程为：y=且x-K,原点到直线的距离4;且p，36212r 坐标原点到小，距离的比值为3.2【解析2】由对称性设4%,)&oO),则尸(O,)点A8关于点尸对称得：B(x0,np_ux=3p2,r得:A(6p,),宜线m:y=22+o一百)，十二二o3p222=2py=y=2=了=Bnx=立Pn切点、Pdh2pp3336直线:y=y(x-x-yf3y-p=O坐标原点到m,n距离的比值为:

11、二3。26【扩展链接】1 .焦点三角形面积公式：圆锥曲线的左右焦点分别为B,F2,点P为曲线上任意点NFPF2=y,(1)若P在椭圆上，则椭圆的焦点角形的面积为=b2tan.arrr22J2(2)若P在双曲线上，则双曲线的焦点角形的面积为SAbF=-ar1zr2tan-22 .椭圆:+斗=1(abO)的焦半径公式:abIMK1=+外MK1=。-QO(耳(-c,0),W(Go)Me,%).【新题展示】1.12019四川绵阳二诊(节选)】己知椭圆C+1=的左右焦点分别为B,F2,直线1：y=kx+m与椭84圆C交于A,B两点.O为坐标原点.(1)若直线1过点R,且IAF2I十IBFzI=1,求直线

12、1的方程；3【思路引导】(1)设A(X1,y),8(八”).联立I2,=*2)，整理得(1+2F)W+8Fx+8F-8=0.根据弦长公式5=映,(X+2y-8=0,31+k22代入整理得=-,解得k=1.得到直线,的方程.1+2k23【解析】8/2（1）由椭圆定义得H8+AF2+8F2=4=86，则依用二！.因为直线/过点八(-2,0),所以加=2&即直线/的方程为产依计2).设A(XI,y),Bg”).联立12,-T+2)，整理得(1+2)2+8Kx+8M-8=0.(X+2y-8=0,-8k28k2-8一/8亚*X1+X2=，xia2=.由弦长公式HBI=(1+k2)(x+X)-4xX=1+2k21+2k231+k22代入整理得=-,解得k=1所以直线/的方程为y=(x