专题3.10 判断点在圆内外向量应用最厉害（解析版）.docx

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1、专题io判断点在圆内外，向量应用最厉害,ia1点与圆的位置关系的解题策略一般有以下几种：利用设而不求思想求出圆心坐标，然后计算圆心到点的距离并和半径比较得解；向量法，通过判断数量积的正负来确定点和圆的位置关系：如已知AB是圆的直径，G是平面内一点，则GAGB0o点G在圆外；GAGB=O点G在圆上.方程法，已知圆的方程M:(x-a)2+(y-Z?)2=r2,点N(x0,y0),则(x0-6f)2+(y0-Z?)2/0点N在圆M外.四点共圆问题的解题策略：利用四点构成的四边形的对角互补：利用待定系数法求出过其。中三点的圆的方程，然后证明第四点坐标满足圆的方程.【典例指引】X2V2r-2例1【201

2、5高考福建，理18】已知椭圆E：+0)过点。应)，且离心率为一.ab22(I)求椭,圆E的方程;(H)设直线X=my1,(加？K)交椭圆E于A,B两点,o判断点G(-30)与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由.4【解析】解法一：(I)由已知得Ib=五,!,解得1a26f2=b2+c2,Ia=21b=y2fN=五所以椭圆E的方程为+回=1.42(H)设点4(xy1),B(x2,y2),AB中点为H(%,yo).iX-my-1由IX2+、2_得(+2)y2.2叱3=0,学科&网1T+T-g、i2m3.1z.2所以y+y2=Fyy2=F从而y。=m+2m+2m2所以GH=+7)2+yo2=(

3、myo+7)2+yo2=(m2+1)yo2+myo+7f-44ZIOAB2_(x1-x2)2(j,-y2)2_(m2+1)(j,-y2)244-T=画+1)”了-42二向+吸2.y%),Sm2WEQAB25/2i、25故GH-=-my0+(m+1)y1y2+=9420172162(m2+2)3(?+1)卜25_17病+20m2+2T-16(m2+2)所以GH幽，故G(-2,0)在以AB为直径的圆外.24解法二：(I)同解法一.99()设点次再y1)jB(x1sy2)s,则GA=(X1+-sy1)sGB=(巧+-sy2).44=y-.X2y2得(m，2)y?-2/y-3=0,所以y+y?=+=1

4、42_99J从而GAGB=(X1+-Xxi+-)+y1y2=(my1+2+：)+y1y2,5“、255m23(m2+1)2517w2+2C=(m+1)j1y2+-w(+y2)+=2-r-T7=1,204162(m+2)m+21616(m+2)所以cosA,GB(),又GA,GB不共线，所以BAGB为锐角.Q故点G(，0)在以AB为直径的圆外.学科&网4类型二四点共圆应用问题例2.(2014全国大纲21)已知抛物线CV=2p(p0)的焦点为凡直线y=4与y轴的交点为P,与。的交点为Q,且IQFI=2PQ.4(I)求C的方程；(II)过F的直线/与C相交于A,B两点,若AB的垂直平分线厂与C相较于

5、M,N两点，且A,M,B,N四点在同一圆上，求/的方程.【解析】(I)设。(4,4),代入V=2尸，得=2,忸到-Xo=片.由题设得y-=解得P=-2(舍去)或p=2,.C的方程为y：=4x$(II)由题设知/与坐标轴不垂直，故可设/的方程为X=町+K次HO),代入V=4x得炉一4叩一4=0.设4(再，M)，监ty2)iWJvt-V2=4m,yy2=T.故A5的中点为D(2加:一1：2”i网=w2-1Iy1f1=-1).又/的斜率为-w1,.的方程为x=y-2加：一3.将上式代入V=4x,并整理得4-y-4(22-3)=0,设M(%,3(x.,知,则WWy1+,4=-fy34=-4(2m+3)

6、故MV的中点为r-+2m23,-,I.VArI=卜+JrIy11yJ=4E-1WIFMW1YFHW即Mt.-12吁曰一1；一由于Mv垂直平分线刘，故4,MaJV四点在同一圆上等价于HE1=B=VI,从而:5f.D1MW：I=1,化简得刑:一I=0,解得加=1或加=T,所求直线，的方程为X-J-I=O或x+J-I=O-类型三动圆过定点问题例3(2012福建理19)如图，椭圆E：5+=1(。b0)的左焦点为耳，右焦点为工，离心率e=g。过耳的直线交椭圆于A,8两点，且A3K的周长为8。(H)设动直线/:y=阮+m与椭圆E有且只有一个公共点P,且与直线x=4相交于点Q。试探究：在坐标平面内是否存在定

7、点使得以PQ为直径的圆恒过点M?若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由。【解析】(I)设C=G-/则C=9=1=2c=3=4b2,a2一丽的国4小田盟I+同=8O+心田即|+|即1=8SBr2网周长为148a=2.=-3.c=1椭圆E的方程为三+4=143(II)由对称性可知设尸(gjoo0)与Ma，)亶线-藜R=Qa殁MPMQ=0(x-x-4)+y0X铝*=Ooxb(x-1)=(-)(*)Jo(*)对毛e(-2,2)恒成立OX=1,得Af(1o)(y=kx+rn元2y2得(4F+3)+8加a+4312=0,+=143动直线/与椭圆E有且只要一个交点P(%,),m0且=(),学科&网即64

8、k2m2-4(4-+3)(4，/-12)=0,化简得4k2-w2+3=0,1,4km此时/=4F34k,3.八4A3，%=KXq+H1=P(,).X=4得Q(4,4&+加).学科&网y=kx+m假设平面内存在定点M满足条件，由图形对称性知，点M必在X轴上,设M（X,0）,则MPMQ=O对满足式的机，2恒成立.A13：MP=(X1,MQ=(4x1,4Z+加)，mtnA131*(FX1)(4再)H(4A+ti)=O整理得(42-4)Fx4x+3=0,4x-4=O*7，解得“=1,x12-4x1+3=0存在定点用（1,0），使得以尸。为直径的圆恒过点M.y=kx+m（法3）由v2(4r2+3)x2+

9、8Atwx+4w2-12=O=1.动直线，与椭圆E有且只要一个交点P（Fjo）,.m=0且=（）,即64k2m2-4(4Ar2+3)(4加？-12)=0,化简得4Ar2-w2+3=Os此时f=一Ahn4kj3.D.4左3、,NO=+“二一f尸！一.IX=4t=H+m得或+明假设平面内存在定点M满足条件，由图形对称性知，点M必在X轴上，取左=0,m=也,此时尸（0,百），0（4,3）,以尸。为直径的圆为（-2）2+（y-/）?=4,交X轴于点跖(1O)M(3,0);取左=上加=2,此时尸（1,e（4,0）,以尸为直径的圆为（-力+UTy=之交X222416轴于点A3（10），A，4（4,0）;.

10、若符合条件的点M存在，则（1,0）,以下证明M（IQ）就是满足条件的点：A13VMP=（1,工）,MQ=（3,4女+加），mm：.MPMQ=3+3=0,学科&网mm，恒有MP_1MQ,.，存在定点M(1,0),使得以PQ为直径的圆恒过点M.类型四证明四点共圆例4.己知O为坐标原点，F为椭圆C:/+f=1在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为-的直线/与C交与A、B两点，点P满足。4+O8+OP=0.(I)证明：点P在C上：(II)设点P关于点O的对称点为Q,证明：A、P、B、Q四点在同一圆上.【解析】设次甬:比/(孙当)直线1y=-x+1,与x2+=1联立得4x2-21c-1=06-26+2甬=-

11、，再*01+=-=由Od+03+。P=0.得P(-(x1+x,)1-G1+y2)T再+巧)二-4，-+Vj)(y/2x+142x2+1)=,2(a+w)-2=-1(-冬+字=】所以点P在C上。(II)由尸(一，-1)和题设知，2(专,1),PQ的垂直平分线7的方程为=一日汇设AB的中点为M,则拉($：；),AB的垂直平分线4的方程为=乎X+1由得八力的交点为n(-乎：3OOMb序?F唱=1+(-2)2-x2-x1=卜手Mb停答百=哈|入川=血必仟+|尔丁=缪故INPI=IN4|.INPHNe1JN4I=IAE1所以A、P、B、Q四点在同一圆圆N上.【扩展链接】;(2)OP2+OQ21o为坐标原

12、点，P、Q为椭圆上两动点，且OP_1OQ.(1)=r+J-T=1+0P2IOQI?a?-zj9的最大值为缶九”的最小值是弗.2.若椭圆方程为1+=1(方(),半焦距为C,焦点耳(一Go),居(c,0),设ab过耳的直线/的倾斜角为二,交椭圆于A、B两点，则有：=,B=-；IAM=22，2a-ccosaa+ccosaa-ccosa若椭圆方程为+=1(A0),半焦距为c,焦点6(-c,0),瑞(GO),设CrZr过6的直线/的倾斜角为0,交椭圆于A、B两点，则有：IA昨叫I=-：IABI=2；Ja-rccosaaccosaa-ccosa3.设AB为过抛物线y?=2p*O0）焦点的弦，A（xvy1）

13、.B（x2ty2）f直线AB的倾斜角为6,则2V=jwp2;.IAF1=X1+二E,出F1=X-K=E1112I-CoSeI1-21+cos(9().AB=xi+x2+P=-;sin112FAFBP3.O4OB=p2;4SSoB=OBsinZAOB=；OFhh.=-zzzsnu【新题展示】X2y21【2019陕西第二次质检】已知尸1、?2为椭圆C：丁+J=I（abO）的左右焦点，点P（2,3）为其上一点,a2b2PF1+PF2=8.（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线1y=履-4交椭圆C于4、B两点，且原点。在以线段AB为直径的圆的外部，试求左的取值范围.【思路引导】（I）由椭圆的定义及点在椭圆上，代入椭圆方程可求得a、b,进而得椭圆的标准方程。（2）设出A、B的坐标，联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理表示出以C0,代入得到关于k的不等式，解不等式即可得k的取值范围。【解析】2232_2_(1)由题可知/+法=,解得修二；，2