专题3.12 综合求证多变换几何结合代数算（原卷版）.docx

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1、专题12综合求证多变换，几何结合代数算【题型综述】综合求证问题有以下类型：(1)证明直线过定点，设出直线方程，利用题中的条件与设而不求思想找出曲线方程中参数间的关系，即可求出定点.(2)定值问题就是证明一个量或表达式的值与其中的变化因素无关，这些变化的因素可能是直线的斜率、截距，也可能是动点的坐标等，这类问题的一般解法是使用变化的量表示求证目标，通过运算得知求证目标的取值与变化的量无关.当使用直线的斜率和截距表示直线方程时，在解题过程中要注意建立斜率和截距之间的关系，把双参数问题化为单参数问题解决.(3)恒等式的证明问题，将恒等式转化为常见,的弦长、距离之比或向量关系等问题，进而.转化为直线与

2、圆锥曲线的交点坐标问题，利用设而不求思想及韦达定理即可证明.(4)几何图形性质的证明，利用几何图形性质与向量运算的关系，转化为向量的运算或直线的斜率关系，再用直线与圆锥曲线的交点坐标问题，利用设而不求思想及韦达定理即可证明.【典例指引】【解析】类型三等式证明例3【2015高考上海，理21】已知椭圆V+2y2=,过原点的两条直线4和4分别于椭圆交于a、B和C、D,记得到的平行四边形ABCD的面积为S.(1)设A(x1,yJ,C(x2,y2),用A、C的坐标表示点C到直线的距离，并证明S=2y-/2乂|；(2)设4与人的斜率之积为g，求面积S的值.【解析】类型四长度关系证明例4.12016高考四川

3、】已知椭圆E：j+=1(gb0)的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三ab个顶点，点尸(6,g)在椭圆E上.(I)求椭圆E的方程；(H)设不过原点。且斜率为亨的直线/与椭圆E交于不同的两点A,B,线段AB的中点为M,直线OM与椭圆E交于C,D,证明：MAMB=IMCHM必.【扩展链接】5、25(2)圆卜一,J+(y-2)2=彳与%轴正半轴相交于两点M,N(点M在点N的左侧)，过点M任作一条直线与椭圆C相交于4B两点，连接AN,BN,求证乙4NM=8NM.【思路引导】22万设椭圆C的方程为+T=1(abO),由离心率为g得。2=2必，又APQFz的周长为4a=&。，得arb2a=22,进而求出

4、椭圆方程；(2)把y=0代入圆的方程求出X的值，确定M与N的坐标，当AB_1X轴时，由椭圆的对称性得证；当AB与X轴不垂直时，设直线AB为y=k(x1),与椭圆方程联立得到关于X的一元二次方程，设A(x,y),B(X2,y2),利用韦达定理表示出x+x2,x1x2,进,而表示出直线AN与直线BN斜率之和为0,即可得证.V22.12019福建厦门3月质检】已知椭圆r：-+y2=1t过点C(1,0)且与%轴不重合的直线与r相交于48两3点，点0(2,0),直线4。与直线=3交于点瓦(1)当48垂直于X轴时，求宜线4。的方程；(2)证明：CD/BE.【思路引导】(1)当垂直于%轴时，其方程为=1,求

5、出点4的坐标后可得直线4。的斜率，于是可得直线方程。(2)由于CD在%轴上，所以只需证明点B,E的纵坐标相等即可得到结论成立，解题时注意直线方程的设法.3.12019山东济宁一模】己知椭圆C:1+也=1(b0)的离心率为且椭圆C过点P(1竽).求椭圆C的方程;()设椭圆C的右焦点为F,直线I与椭圆C相切于点A,与直线=3相交于点B,求证：乙4PB的大小为定值.【思路引导】j5a3(I)由题意可知1,4解得a2=3,b2=2,即可求出椭圆C的方程，(H)显然直线1的斜率存a23b22=Zj2+c2y=kx+m在，设1：y=kx+m,联立兰十=，根据直线1与椭圆相切，利用判别式可得m2=3k2+2

6、,求出点A,32-B的坐标，根据向量的运算可得可得fa778=0,即NAFB=90。，故NAFB的大小为定值.4.12019山西吕梁一模】已知抛物线E：2=4y,过X轴上一点M(不同于原点)的直线I与E交于两点A%),B(X2M),与y轴交于C点.(I)MA=MC,MB=MC求人的值；(2)若M(4,0),过A,B分别作E的切线，两切线交于点P,证明：点P在定直线方程上，求出此定直线.【思路引导】n-1n-9(1)，设M(nQ),通过坐标表示向量得到入=-,=?,设I：y=k(xn),与抛物线联立利用韦达定理求nn解即可；(2)由点斜式求出两条切线，两直线联立可得点P的坐标，进而可证得结论.5

7、.12019山西吕梁一模】己知抛物线E：2=4y,过谢上一点M(不同于原点)的直线I与E交于两点A%),B(2y2),与y轴交于C点.(1)若4a=入IviGMB=MC,求人的值；(2)若M(4,0),过A,B分别作E的切线，两切线交于点P,证明：点P在定直线方程上，求出此定直线.【思路引导】n-x1n-X0(I)设M(n,O),通过坐标表示向量得到入=-,=设I：y=k(x-n),与抛物线联立利用韦达定理求nn解即可；(2)由点斜式求出两条切线，两直线联立可得点P的坐标，进而可证得结论.6，.【2019安徽六校联考】如图，C、D是离心率为乙的椭圆的左、右顶点，FvF2是该椭圆的左、右焦点，A

8、、2B是直线X=Y上两个动点，连接AD和BD,它们分别与椭圆交于点E、F两点，且线段EF恰好过椭圆的左焦点F当EF1CD时，点E恰为线段AD的中点.(I)求椭圆的方程；()求证：以AB为直径的圆始终与直线EF相切.【思路引导】(I)由题意可得a+c=4-c,结合e可求出a,b,c,进而可求得椭圆的方程；(II)设EF的方程为:x=my-1,2E(ry1),F(2zY2),与椭圆联立,运用韦达定理得丫1+丫2，丫1丫2，又设A(-4,yJ由三点共线得Ya，Vb,求出AB中点M坐标(-4,3m),求出点M到直线EF的距离d,进而证得结果.2X7.2019陕西咸阳一模己知椭圆C:-+Y?=1(a1)

9、的上顶点为B,右顶点为A,直线AB与圆”:“-2尸+(y-1)2=1a相切.(1)求椭圆C的方程；1(2)过点N(O,一)且斜率为k的直线I与椭圆C交于P,Q两点，求证：BP1BQ.2【思路引导】(1)求得直线AB的的方程，利用圆心到直线的距离等于半径，列方程，解方程求得a的值，由此求得椭圆方程.(2)设出直线I的方程，联立直线方程和椭圆的方程，写出韦达定理，通过计算BPBQ=O,证得BP1BQ.8.12019湖南长沙统一检测】已知椭圆C:+*=1(ab0)的离心率为-，左、右焦点分别为F1、F2,A为a2b23椭圆C上一点，AFI与y轴相交于B,AB=F2B,OB=-.3(I)求椭圆C的方程

10、；(II)设椭圆C的左、右顶点为A、A2,过A、A?分别作X轴的垂线II、片椭圆C的一条切线ky=kx+m(kO)与k2交于M、N两点，求证：MF1N=MF2N.【思路引导】(1)结合题意，得到BO为AF1AF2的中位线，进而得到AF=2B0,利用椭圆性质，计算a,b值即可。(2)将直线1的方程，代入椭圆方程，得至IJFiiv11F1N以及F2M1F2N,即可。【同步训练】1.如图，圆C与X轴相切于点T(2,0),与y轴正半轴相交于两点M,N(点M在点N的下方)，且IMNI=3.(1)求圆C的方程；22（2）过点M任作一条宜线与椭圆2_+（_二1相交于两点A、B,连接AN、BN,求证：ZANM

11、=ZBNM.【思路点拨】（1）设圆C的半径为r（r0）,依题意，圆心坐标为（2,r）,根据IMN1=3,利用弦长公式求得!的值，可得圆C的方程.（2）把X=O代入圆C的方程，求得M、N的坐标，当AB_1y轴时，由椭圆的对称性可知NANM=NBNM,当AB与y轴不垂直时，可设直线AB的方程为y=kx+1,代入椭圆的方程，利用韦达定理求得Kab+Kbn=0,可得NANM=NBNM.【详细解析】2.已知椭圆Czi+V_=i（ab0）经过（1,1）与（返，YI）两点.a2b222（1）求椭圆C的方程；（2）过原点的直线1与椭圆C交于A、B两点，椭圆C上一点M满足IMA1=IMB.求证:1H+_为定值.

12、IoaI2IobI2IomI2【思路点拨】（1）把（1,1）与正,区）两点代入椭圆方程解出即可.22（2）由IMAI=IMB|,知M在线段AB的垂直平分线上，由椭圆的对称性知A、B关于原点对称.若点A、B是椭圆的短轴顶点，则点M是椭圆的一个长轴顶点；同理，若点A、B是椭圆的长轴顶点，则点M在椭圆的一个短轴顶点；直接代入计算即可.若点A、B、M不是椭圆的顶点，设直线1的方程为y=kx（kM）,则直线OM的方程为厂。%,设A（x,yB(x2,y2),与椭圆的方程联立解出坐标，即可得到IoA12二QB2=F+y台空笛，同理111+2k2IoM12=3(1+k),代入要求的式子即可.2+k2【详细解析

13、】3.在平面直角坐标系Xoy中，动点p(x,y)(x0)满足：点P到定点F(1,0)与到y轴的距离之差为1.记22动点P的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的轨迹方程；(2)过点F的直线交曲线C于A、B两点，过点A和原点O的直线交直线X=-1于点D,求证：直线DB2平行于X轴.【思路点拨】(1)利用动点P(x,y)(XNO).满足：点P到定点F(1,0)与到y轴的距离之差为工.列22出关系式，即可求曲线C的轨迹方程；(2)过点F的直线交曲线C于A、B两点，过点A和原点O的直线交直线X=1于点D,设A的坐标为22(2一，y),求出OM的方程为y=2(yo0),推出点D的纵坐标然后求出直线AF的方程，求

14、出点2y0B的纵坐标，判断直线DB平行于X轴.即可得到结果.【详细解析】22I-4 .在平面直角坐标系Xoy中，已知点P(2,1)在椭圆C：%+J=1(abO)上且离心率为0.a2b22(1)求椭圆C的方程；(2)不经过坐标原点O的直线1与椭圆C交于A,B两点(不与点P重合)，且线段AB的中为D,直线OD的斜率为1,记直线PA,PB的斜率分别为k,k2,求证：kk2为定值.【思路点拨】(1)根据椭圆的离心率公式，将P代入椭圆方程，即可求得a和b的值，求得椭圆方程;(2)根据中点坐标公式及直线斜率公式，求得+2=y+y2,利用点差法求得直线1的斜率，将直线方程代一入椭圆方程，利用韦达定理及直线的

15、斜率公式，即可求得kk2为定值工.2【详细解析】5 .在平面直角坐标系Xoy中，直线1：X=-1,点T(3,0),动点P满足PSjJ,垂足为S,且加五=0,设动点P的轨迹为曲线C.(1)求.曲线C的方程；(2)设Q是曲线C上异于点P的另一点，且直线PQ过点(1,0),线段PQ的中点为M,直线1与X轴的交点为N.求证：向量困与和共线.【思路点拨】(1)设P(xo,yo)，则S(-1,yo),由此利用向量的数量积能求出曲线C的方程.(2)设Q(xi，y),则y2=4,从而y2=4,p=2,焦点F(1,0),N(-1,0),由PQ过F,得XbI1 1102 2A(Xn+1)y+4.X介+1.y1=-，进而SM=(5,?),NQ=(,卫