专题2.2 旋转平移翻折.docx

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1、2.2平移、旋转与翻折与代数变换的重要性一样，几何变换同样在几何问题中也起着非常重要的作用.通过几何变换，可以把分散的线段、角相对集中起来，从而使已知条件集中在一个我们所熟知的基本图形中，然后利用新的图形的性质对原图进行研究，从而使问题得以转化.例1如图2-2-1：设/是AASC的垂心.求证:AI2+BC2=BI2+AC2=C12+AB2.【分析】对于aABC各边来说，结论是轮换式，于是只需要证得某一等式即可.显然等式没变都是两线段的平方和，故考虑构造相应的直角三角形.图2-2-1【证明】分别过点8、/作A/、AB的平行线，两线交于尸点.连接PC由条件可知：四边形4/P8为平行四边形，从而Bp

2、=A/,NPBONA1B=90,，PC2=PB2+BC2=AI2+BC2同理：PI=AB,NPIC=NBNC=90:故PC2=CI2+PI2=CI2+AB2,：.AI2+BC2=CI2+AB2.同理：AI2+BC2=BI2+AC2.：.AI2+BC2=BI2+AC2=CI2+AB2例2已知aABC的三条中线的长为3、4、5.求AABC的面积.【分析】设448C的中线AZ3,BE=4,CF=5。现考虑平移三条中线集中在一起，构成一个确定的三角形,再分析面积间的数量关系.【解法一】过点F作FK次，连接KA、KE、KB、EF.从而FKECf四边形KFCE为平行四边形.，KF=EC.又VEC=AE,：

3、,K尸44E,四边形KAEF为平行四边形，KAEF./EF屋BC.BD=-BCt：.BK=AD.22,BKE是aABC中线为边长的三角形.:52=32+42,.Z8KE是直角三角形，JSabke=6SWFK=ZS四边形Mwf=Sbc,SABEFWABC，SMFK=S4EF=WBC34,*SABKE=WSBC即S&BC=SABKE=8-【注】可将问题一般化，设AABC三边上的中线的长度为外,网则有:S*=gj心-砥）（-S）（P-叫），其中p=g（町,+/%+/%）.【解法二】利用重心的性质，构造出三角形，结合以AD,BE,C尸为边长的三角形与其相似，再求面积.延长GO至点，使得Go=HQ,连接

4、“C.2易证45OGgZXCD”,故BG=GH=BE.32 2/CG=-CF,GH=2GD=一4）,故CG2=HG2+HC2,3 3又VG是AABC的重心，SMBC=8【注】由以上两个例题可知，图形经过适当的平移可以使已知条件和结论中的图像元素得以延伸，再通过某些桥梁得以联系和统一.例3如图2-2-3：在aABC外作等腰心AABO和等腰用ZXACE,且NBAO=NCAE=90,AM为aABC中边BC上的中线，连接。E,求证:OE=2AM.【分析】由M是BC的中点，可利用中线倍长得带AF=2AM,再证AF=DE.注意到可通过ACMA旋转得到，故可利用图形旋转相关性质思考.图2-2-3（证明延长A

5、M至F,使得AM=FM,连接BF.：BM=CM,AM=FM,NAMc=NFMB,AMCAFBM.ZF=ZMAC,BF=AC,ZABF=180o-NBA+N后180-NBA尸-NMAe=I80-（180o-ZDAE）=ZDAE.又t：AD=AB,E=ACf故AE=BF.ADFBAF,DE=AF=2AM.【注】图形的旋转可通过构造全等来实现，旋转变换即全等变换的一种，在几何证明题中，常常以图形旋转的观点来研究,是常用策略.例4如图2-2-4：正方形ABCO内一点E,E到A、B、C三点的距离之和的最小值为+而,求正方形的边长.【分析】利用图形的旋转，将三条线段转换为首尾顺次相连，再利用两点间直线距离

6、最短求最值问题.图2-2-4【解】将aABE绕A点顺时针旋转60到aAMM连接NE,MB.过M作MP_1BC,垂足为P.由题意：AE=AN,NNAE=60,ZXANE为等边三角形.ME=NE,JAE+BE+CE=MN+NE+EC.当AE+8E+C石最短时，折线MNEC为线段，且MC=+同理得：ZXAMB为等边三角形，.A8=8C=8M,NMA8=60.解得x=2,即A8=2,正方形的边长为2.例5如图2-2-5:在正4ABC内有一点P,P到三个顶点A、B、C的距离分别为。、b、c,求aA8C的面积.图2-2-5【分析】由于AP、BP、CP为已知，故可将AP、BP.Cp移至一个三角形.为此可分别

7、旋转4A8PBPC、ZXPCA,通过求六边形Af1BOCE的面积求解aABC的面积.【解】分别将4A8PABPC、ZPCA绕着8、C、A顺时针旋转60,得到ACBZXRACE、ABAF.连结PD、PE、PF.故S六边形AESOCE=2Sr8C,因为AP=ARZm=60o,所以aAP/为等边三角形，边长为从而PF=AP.因为BF=PC,故4BP尸的三边长分别为,b,c；同理:ZXBPO是边长为b的等边三角形，ACPF是边长为c的等边三角形，由于aOPC和日的三边长都分别为a,b,c.因此S六边琢Mg=亭(a?+b2+c2)+3JP(P-)(p叫(P-C).所以SDiBe=J,+c2)+：JP(P

8、-矶b)(p-C),其中=J(+O+c).【注】利用图形的旋转可构造等边三角形或等腰直角三角形，实现线段和角度的转换，使原来分散的线段和角集中起来或有序地排列起来，得到新的图形以方便研究.例6如图226:在AABC中,AO是角平分线,BE=CF,点M、N分别是BC和EF的中点.求证:MM/AD【分析】利用等腰三角形轴对称性构造中点，系.【证明】过E作AO的垂线，交Ao于点G,交AC于点S.过B作AO的垂线，交Ao于点“，交AC于点T.连结GMHM.因为AO平分/8AC,所以NEAG=NSAG因为AO_1ES,故NAGE=NAGS=90.所以AAEGZZASG.iAE=AS,EG=SG.同理:A

9、B=A。BH=TH.又因为N为Er的中点，故GNSRGN=-SF;同理:MH=-CT.因为BE=Fe所以ST=尸C,从而SF=CT,进而GN/M,GN=HM.故四边形GNMH为平行四边形，所以MNHAD.【注】本题是把角平分线作为翻折轴来进行解题的用角平分线作为翻折轴，可以使翻折图形落至原来图形的另一侧，而且对应点的连线被角平分线垂直平分.这样不仅可以增加图形的直观性，而且增强条件与结论间的逻辑联系.例7如图227:在矩形ABC。中，A8=20,BC=IO,若在A8、AC上各取一点MM,使得BM+MN的值最小，求这个最小值.图2-2-7【分析】作8关于AC的对称点区即求折线EMN的最小值，这个

10、最小值为点E到AB垂线段的距【解】作8关于直线AC的对称点E,连结AE、BE、ME过点E作AB的垂线，交48、AC于点R由BM+MN=EM+MNEF,所以BM+MN的最小值为EF.因为2Sd18c=A323CAC1BH,iBH=45,BE=2BH=3j5.所以AH=AB2-BH2=85.因为2SEnBE=AB?EFBE？AH,故石尸=16所以8M+MN的最小值为16,此时N和尸重合，M和G重合.例8如图2-2-8:在aABC中，NABC=90。，AB=BC,P为三角形内一点，分别作尸关于BC、CA.A8的对称点A1夕、U若所得aAEC中，ZB,C=90o,AE=Ac求:SD：SDWC的值.图2

11、-2-8【分析】由对称性可得的五边形面积是AABC面积的两倍，并且AC48是正方形.ZAbC为等腰直角三角形.【解】连结布、PB、PC.AC.ABBABC.CACB.由轴对称性知:AC=AP=A8.ZCAB=ZPAB,NB,AC=N%C因为NA8O90。，AB=BC,ZBC=45o,故N*AC=90o;同理：,BC,=90o,ZA,C,=180o,故。、B、A,三点共线。所以ABC是等腰直角三角形。因为A4*C也是等腰直角三角形，所以四边形AeA为正方形；同理：AA，星C为等腰直角三角形。5,-a8设A8=4,故Si4c8ac=。一，h,bcat故Sa,oac,=Z。由轴对称性质：Sa.cb.

12、ac.=2Sabc,故SzWC练习2.21 .证明：如果七条直线两两相交,2 .如图，在“风车三角形”中，故BC,SMIiC=/V=4:5。那么所得的角中至少有一个角小于26。AA,=BB,=CC,=2,ZAOB=ABOC=COA=60。求证：4 S-AM+S_HOC，+S.COK360o,矛盾！故这14个角中至少有一个角小于26。，原命题成立.23 .将480C沿88,方向平移2个单位，所移成的三角形记为aB,PR将aHOC沿AX方向平移2个单位，所移成的三角形记为aARQ.因为OQ=OA+AQ=OA+OA=AA=2,OP=OBUBP=OB+OB=BB=2.且NQOP=60。，所以AQOP为正三角形.所以PQ=OQ=OP=Z.因为QR+RP=OC+OC=CC=2,故Q、R、P三点共线.所以SgpQ=?2y3故SDt08ii+Sn1RBSrMQR所以SrMOHii+SrBoC+SKw?/3.4 .取AC的中点0,连结OP.因为AAPC和ZXAQC均为直角三角形，所以OP=OA=OQ=-AC=-b.22故O为AAPQ的外心.过。作OR_1PQ,OT1AQf连结”Q,过T作TSA”交/7Q于S,连结RS、OR.易知R、T分别为PQ、AQ的中点.所以PR=-PQ