专题3.1 奇偶分析.docx
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1、第三部分数论篇3.1奇偶分析随着我们对数的不断了解,对于整数中的某些规律也在不断的加深.奇偶分析就是其中一种规律,是处理整数问题常见的方法,为以后同余理论的学习打下了基础.下面我们就来看看一些有关的性质:性质1奇数与偶数的和是偶数;性质3偶数与偶数的和是偶数;性质5奇数与偶数的积是偶数:性质7奇数个奇数的和是奇数:性质2奇数与奇数的和是偶数性质4奇数与奇数的积是奇数性质6偶数与偶数的积是偶数例1设0,S,为给定的任意三个整数,把它们按任意顺序排列后记为加,历,如证明:(a1-仇)(。2一历)(。3一83)问题偶数.【证明】因为(”加)+(。2。2)+(。3加)=O所以(0一加),(。2岳),(
2、。3一方3)中至少有一个为偶数,否则,三个数都为奇数,则它们的和为奇数,与和为零矛盾,从而(06)(42一历)(的一历)总是偶数.【注】本题可以将“三个整数”一般化到奇数个整数,另外采取分类讨论,枚举各种排列,处理时有局限性,利用奇偶性整体求和来操作较简洁.例2教室里有50盏编号分别为1,2,3,,50的灯,都是关上的,50名学生依次进来,第i个学生把编号为i的倍数的灯上的拉线开关拉一下,试问:最后教室里亮着的灯的编号有哪些?【分析】电灯只有开与关两种状态,每拉一次将改变电灯的原有状态,由于初始状态50盏电灯都是关上的,所以决定电灯最终状态的,是电灯拉线开关被拉次数为奇数还是偶数.【解】显然,
3、被拉奇数次的电灯最终为亮.对于编号为i的电灯被拉的次数取决于i的约数个数,即若i的正因数个数为奇数,则编号为i的电灯亮着,若i的正因数个数为偶数,则编号为i的电灯熄灭.对于任意正整数,若d为的正因数,则E也是,即的正因数成对出现,当且仅当为完全平方a数时,的算术平方根与自身配对,所以当且仅当为完全平方数时,的正因数个数为奇数.所以,最后教室里亮着的灯的编号有1、4、9、16、25、36、49.例3如图311所示,在4X4方格纸上已填上2,0,1,1是否能在余下的方格内各填上一整数,1102使得方格纸上的每行每列都成等差数列?【分析】思路:采用“特殊到一般”的解题思想,先寻求一些特殊位置,看是否
4、有存在符合要求的整数,若不行,可以马上对结论进行否定,若合适,再进行下一次的探索.【解】以第一列,第四列位置为基础,假设可以填上一个符合要求的整数,设为,并设第一列所成的等差数列=1+2d,另一方面“=2-2d2,所以有1+2d=2-2d2,即得2(d+t)=1,从等式可以看出,左边为一偶数,右边为一奇数,显然是矛盾的,由此可以得出否定的结论.例4已知个整数的乘积为,且和为0,证明:可被4整除.【证明】设个整数为用,。2,,斯,由题意得*,*an=n若为奇数,则由可知。|,。2、,。”均为奇数,于是“i+gH)斯是奇数个奇数之和也为奇数与矛盾,所以必为偶数,从而的,。2,小中必有一个为偶数.考
5、虑0.42,斯中只有一个是偶数,不妨设M,则S+/+是奇数个奇数之和为奇数,从而i+2Fm为奇数,这与矛盾,故。1,斯中至少有两个偶数,所以4能被4整除.【注】要证明是4的倍数,可先证是2的倍数,利用奇偶分析,先判断为偶数,在此基础上,后半段的讨论有一定技巧性,但是实质还是再次利用奇偶分析,对个数中偶数的个数做出判断.例5已知个数x,及,中每一个数均为+1或-1,若汨及+及Xi=O.求证:是4的倍数.【证明】因为即,X2,X的值为+1或一1,所以X1X2,33,*因的值为+1或-1.不妨设其中2个+1,一&个一1,则攵一(-Q=O.即=2匕从而为偶数,又因为(XIX2)(X2X3)(左两)=(
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