专题1.6 利用对称性处理+石丽娟.docx

《专题1.6 利用对称性处理+石丽娟.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《专题1.6 利用对称性处理+石丽娟.docx（3页珍藏版）》请在第一文库网上搜索。

1、1.6利用对称性处理在现实生活中，存在大量的对称的美，例如房屋、汽车、蝴蝶、篮球.，甚至人的身体也是对称的.在数学中也存在许多诸如对称式，对称方程，对称算法，对称图形等等，结构上的对称使得解题的任意性变得有序化、规则化.例1甲、乙两人在19X19的格子棋盘下棋，规则如下：如一方已落子，则另一方不能在之前已有的棋子上、下、左、右的任何一格上落子，当一方无处落子时，则失败，试问：如果甲先落子，他有必胜的把握吗？【解】甲有必胜策略，因为19X19的方格棋盘是中心对称图形，甲只要先在中心方格内落子，然后接着在乙所落子的方格关于中心对称的方格内落子，这样就可保证：只要乙有地方落子，则甲必可在它的对称位置

2、落子，最后乙无处落子，甲必胜.【注】利用图形的对称性可以很方便的解决一些图形操作问题和几何证明问题.例2.己和2-8+3=0,3Z-8）+2=0,且abx1,试求：0+的值.【分析玳数式2-8o+3=0,劝28力+2=0,且abw1似乎并不对称,但是结果要求的（a+（）（b+g）给我们暗示：关于a和关于1的式子是否对称？关于b和关于,的式了是否对称？+3=0ba【解】因为3从-助+2=0,故b，0,等式两边同除以从，得22/一8+3=0,且21,故41是方程22-8x+3=0的两个不相等的实数根，故a+=/同理，b,，是bba方程32-8x+2=0的两个不相等的实数根，故b+1=-,所以，fa

3、+iYb+-!-1=-.a3Ib八a13例3.解方程：6x4-5x3-38x2-5x+6=0.【分析】此多项式各项系数中与正中间一项等距离的项的系数都相等，因此考虑用x+工来表示.X【解】当X=O时，左边=6非零，故X=O不是原方程的根，方程两边同时除以炉得6（Y+g）5（x+-38=0,即61十一）一5（x+：）50=0,令y=x+1原方程化6丁一5）T0=。,y=-x+-=-=-2-解得X=-2,X2=-；当y=3时，+-=3+-,解得x=3,X2=-.2X221223X33123综上所述，原方程的解是X=-2,x2=-,x1=3,x4=-.,22343例4.求不超过（近+有）6的最大整数

4、.【分析】直接求6次计算量较大，这时经常会想到降次，联想乘法公式，“配对”的想法逐渐形成，即由J7+6想至IJa-石，分别令它们等a,b,则a+b=27,ab=2,接下来就可能用基本对称式了.【解】设+=a,7-5=b,则a+b=2j7,ab=2.故a2+b2=(a+b)2-2ab=24因为于+66=(/+62)3_3()2(/+始)=13536,又0(7-5)61,故13535(7+5)证明a+2b+ca-ca-2b+ca_b_c1x+2y+zx-zx-2y+z4k【分析】许多开式上对称的式子，诸如连等式和轮换式，要充分运用其对称性，如连等式就可用“设k法”，令这些连等式都等于匕然后用k的代

5、数式表达未知数，最后代入，使问题迎刃而解.【证明】令-=-=k(k0),贝IJx=k(a+2b+c),y=k(a-c),z=k(a-2b+c),故a+2b+ca-ca-2b+cx+2y+z=k(a+2b+c)+2(a-c)+(a-2b+c)=4ak同理得x-z=4bk,-2y+z=4ck,所以，-=-=-=,得证.x+2y+zx-zx-2y+z4k例7.设k是一个非零实数，a、B是方程2-7x+8k=0的两个实根，试问：是否存在实数k,使得N.?夕=7+师荻a8k【解】由4=4932120可得1=竺，又根据韦达定理有。+9=7,。B=8k,若2+3夕J+49-3空32a8k成立，则由对称性应有

6、2+3/=112竺二竺8k故:+于是+3(。+好-2必卜2+3(49-侬户意解得k=竺，但竺竺，即此时方程无实根，从而原问题的结论为否定.161632【注】本题对于对称性的处理用到整系数一元二次方程根的特性.练习1.61 .X4+x3-4x2+x+1=O,试求尸=X?+!的值.2 .分解因式：(x+y+z)-X，一yS-z$3 求证.工+.2n(E1*Ry=nn+1(n+1)(n+2)(n+1)(n+2)(n+3)24 .对实系数二次多项式P(x)=a2+bx+c,定义S(p)=(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2,试求最大的正实数r,使得当尸(x)有实根时，S(p)恒成立.5 .我们知道存在无穷多组正整数的有序数对(m,n)满足：m+(m+1)+(m+2)+(n-1)+n=mn,例如(1,1),(3,6),(15,35),(85,204)是具有m的最小的前四组.(1)试再找出一组解(2)现设(x,y)是其一组解，试利用这组解，找到另外的一组解，并证明之.