专题1.5 主元素方法+刘智勋.docx
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1、1.5主元素方法当一个代数式中含有两个或两个以上变量时,通常采取适当的变形,确定其中的一个变量为主变量,从主变量的角度来解决问题,这种方法就称为主元素方法.例1求方程Zv2+y2-2Xy4%30=0的正整数解.【解】原方程视为关于y的二次方程:j2-2x)+(2t-4x-30)=0j则=4/-4(*-4工-30)=434(4一2尸是一个完全平方数,知a一2产=9或25,由于X为正整数,故X=5或7.当=5时,原方程化为y2-10y=0,解得y=10,”=0;当x=7时,原方程化为产14),+40=0.解得y=10,y2=4.所以,原方程的正整数解(x,y)为(5,10),(7,10),(7,4
2、).【注】本题也可以X为主元,读者不妨一试,例2若二次方程v2+2(2a-1)x+4-3)=0至少有一个整数根,求正整数a的值,(分析】本题可看作是关于%的一元二次方程,根据根的判别式及求根公式,能求出正整数。的值.再换一个角度看,若以。为主元,把它变形为关于。的一元一次方程,是不是也能解呢?【解法一】由题意得4=4(8o+1)是一个完全平方数,因8+1是奇数,故它一定是奇数的平方,设8+1=(2m+1)2(m为正整数),解得将。的值代人原方程得为=一2+3,2mX.=-2一.由于为,X2中至少有一个为整数,故川4或(阳+1)4,又初为正整数,因此m=1,2,m+13,4,解得=1,3,6,1
3、0.【解法二】将原方程整理成关于。的方程。=(X#2),因。为正整数,故。0+11,(x+2)-(+2)2整理得f+2x-80,解得一4W4W2.14又因为X是整数,故x=-4,-3,-2,0,1,2,分别代人得。=1,6,10,3,1,得9。的值为13,6,10例3解方程/-2向2一工+3一百二O【分析】本题属于解高次方程,并且系数目是无理数,用因式分解方法很困难.仔细观察系数6和3,发现3=(6)2,这就给我们一个思路:把百看作一个元.【解】设Q=。,则原方程化为产一2加一工+/一=0,整理为关于。的方程,得/一(2d+iM+x4-=0,因式分解得67-(x2-x)67-(2+x+1)=O
4、故Q=X1-X或=2+x+1,即2一%一6=0或冗2+1-y3=0fe2zn11+43.-143-3解得X=或X=22【注】这里我们突破了常规思维,把石=。看作一个主元,这种把某个常数作为主元的方法虽然不常用,但有时却非常有效,【分析】解三元一次方程组,一般方法是消元、降次为一元一次方程,但是本题由于。,力,C三个字母系数的存在,使得计算非帝繁琐,但这三个方程非常有特点,方程的形式相似,不同的是方程中的系数由。换为4c,能否转换思路,把小力,c看作主元,将1,y,Z看作系数呢?【解】由题意得小b,C分别是关于,的方程=一2+三=1的三个不同实根,整理得户-z/2+Xrt2tx=abc=0,根据
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