专题02 圆的对称性+刘子琳.docx

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1、2.圆的对称性平面上到定点距离等于定长的点的集合称为圆，圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，圆的任意一条直径是圆的对称轴，圆心是圆的对称中心.圆的对称性是圆的最基本性质，垂径定理是圆的轴对称性的集中体现.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.如图2-1所示，直径CZ）垂直于弦AB与H,我们可以得AH=BH;AC=CB,AD=BD.事实上，垂径定理五要素：直径平分弦AB垂直于弦AB,平分弧ACB平分瓠AQB中，删去=外，其余任意两个作为条件都可以推出另外三个结论.直径8垂直弦AB与点、H,圆心到。到垂足H,的距离称为弦心距，这里AOAH是一个重要的三角形，它练习这半弦长，半

2、径，弦心距之间的数量关系，是处理这类问题的主要工具.在同圆（或等圆）中，弦相等=弦心距相等.在同圆（或等圆）中，弦越长=弦心距越短例1如图2-2所示，AB与CQ是。0的两条互相垂直的弦，它们将0分成四部分，若弦A3的弦心距为。,弦CZ）的弦心距为求最大与最小部分之和减去其他两部分的差.分析：考虑到各部分形状，从而不便计算各部分面积.解如图2-2所示，作弦ABA8,CQC。,则Oo被分割为9块，易证四个“4”型全等,四个，仁1T”型中，上、下两个全等，左右两个相等，从而所求面积恰好等于中间矩形EFGH的面积，一句题意题意不难得到EF=2FG=2,所以最大与最小部分之和与其他部分只差为4而.说明：

3、本题是巧用圆的对称性的很好范例.例2如图2-3所示，在00的直径P。上取一点M,过作两条弦A5、CDNPMA=NPMC求证：MD=MB.分析可考虑过点。作弦A8、C。的垂线，既是处理这类问题的常见思路，又能集中ZPMA=NPMC,这一条件与AOGMNAOHM,解作OG_1CD与点H,则在bOGM与2HM中，NOGM=NOHM,NOMG=/PMC=ZPMA=NOMH,OM=OMyOGMNAOHM,GM=HM,所以MD=MG+GD=MH+HB=MB.例3如图2-4所示，OO的直径A8为20cm,G是直径AB上一点，CO是过G的一条弦，,CD=16cm,过A,B分别作AEJ_C。于点比BF1CD于点

4、F,求AE与BF的长度之差.分析作ON上CD于点N,连结C0,首先，通过RtACQV可联系A8、CO之长；其次，可利用AGCW,AG4E,AGM之间相似找到AE,BF的数量关系.解作ON工CD于点、N,连结OC,则ON=JoC2一CN?=JG回-ICQ)=6cm易知AGONGAEGBF,ONOGONOG所以一=,一=,AEGABFBG店AF-BF=GA-BG=OGOG黑OA+OG-(08-OG)=黑X2OG=2QN=12cm4如图2-5所示，EF是。的直径，B,C,BC=CR点A在。上，求证：AB+AC-EF,3分析：注意到点。是BC的中心及圆的中心对称性，延长AO交Oo于点R则四边形ABCO

5、为平行四边形，可建立平面直角坐标系.解延长40交OO于点。,连接3D,8又易知。为8C的中心，ABC。为平行四边形，从而2(AB2+AC2)=AD2+BC2=EF2+WEF)2=yEF22(AB?+AC2)-(AB+AC)2=(AB-AC)20yEF2=2(AB2+AC2)(AB+AC)2AB+AC-EF.3说明：本题解法中，延长A。,实现直径AB,AC同一与一个平行四边形.例5如图26所示，已知:。|与。2交于只。两点，过点作尸作分割线APB交。1与A,交OO2与b,ab/io02；过点作P作分割线Cpd交Cq于点C,交OO2与点。,请此比较4B,CD的大小.分析作qE1AB于E,O2F工AB于F,则QQ=gA8,实现AB长度与长度OQ的转化同样地，作qG1于G,O?H人CD于H,再作qM_1qH于M,则OM=;CD从而将A8,8的长度统一于RtAMQo2中，向题可解.解作QE1AB于E,O2尸14B于尸，则Q=1A8,作QG1C。于G,H1CD千H,再作qMJ,Q于M,则QM=gcD在RtQ2,OiMO1O2,所以gcDv；A8,即CDJA2-AF2=5.所以OB=yOF2+BF2/26.