专题08 圆的幂及应用+盛锦.docx

《专题08 圆的幂及应用+盛锦.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《专题08 圆的幂及应用+盛锦.docx（16页珍藏版）》请在第一文库网上搜索。

1、8圆的寨及应用对于半径为r的Oo它所在平面上一点P,定义尸O?-，为点尸对0。的累，简称为P的哥.0,当在圆外,P的塞=0,当在圆上,0,当在圆内.如图8”,AB是OO的弦，点尸在AB上.作O”_1AB于点”，则PAPB=(PH+HA)(HB-HP)二(AH+PH)(AH-PH)=AH2-PH2=OA2-OH2-PH2=r2-PO2同理，当点尸在圆外（如图8-2）PA尸8=尸O?产.当PC切Q。于点。时，PC2=PO2-r2.所以相交弦定理，切割线定理统称为圆累定理.本节重在从廨的角度看问题.例1如图8-3,上钻是。的一条割线，点C在O。上，且PC2=P4P8.求证：PC是。的切线.图8-3证

2、明设Oo半径为小则尸C2=q4PB=PO2-r2t即尸。2=。2+尸。2故OCJ_p。于C,且OC=从而PC是。0的切线.说明本题为证明直线是圆的切线增加了一种方法，读者可回顾圆的切线一节加以总结.例2如图8-4,PAB、QC8是Oo的两条割线，若PAPB=QCQB,求证：APOQ为等腰三角形.图8-4证明设。0的半径为广，则PA尸B=PO2一,QC.QB=QO2-r2.因为尸APB=QCQ3,故P。？=。？.从而尸O=QO,即尸OQ为等腰三角形.说明此题虽易，却揭示了以废的本质，值得重视.例3如图8-5所示，凸四边形ABC。中，ZABC+ZBCDP,从而8、E、D、P四点共圆，于是PQQE=

3、QBQD,由-得P2=PQ(PE-QE)=PQ.PE-PQQE=PA-PB-QB-QD.说明本例实质为PQ?=P的第+Q的累.读者仔细体会这一漂亮而有用的结论.例5四边形A3C。内接于OO,如图8-7所示，AC与BO交于点G,AB与DC交于点E,BC与AO交于点F,连结石户，0G.求证：OG_1EF.A图8-7证明设Oo的半径为，则EG?=E的鬲+G的鬲，R72=尸的事+G的哥，所以EG?/G2=EO2-z2一/。2+，=七。2一/。2如图8-8,过点E作EH11oG于点H,则EG?=EH；+GH；,0E图8-82=EH12+(OG+GH1)2,则EO?-EG?=OG?+2OGGH.过点F作F

4、H21OG于点H2,则FG2=FH；+GHFO2=FH1+(OG+GH2)2,从而FO2-FG2=OG2+IOGGH2.将、代人，并整理得。GGH=0G-G42，从而GH1=GH2,故M与U2重合即OG1EF.例6如图8-9所示，过Oo的圆心作于点，在/上AB=AC，过点B作割线BQP交。0于点Q、尸，过点C作割线CNM交00于点N、M,连结尸M交/于点R,连结NQ交/于点S,若MN11PQ,求证：AS=AR.图8-9分析AS=ARSO2-OA2=RO2-OA2SQSN=RMRP.证明由于MN/PQ,故PM=QN.所以BQ3P=30?一产=OC2一/=CNCM（其中r为圆的半径）.由于RP-R

5、M=PM=QN=SN-SQ,板SN=RPsQ=RM,于是SNSQ=RPRM，所以AS?=SO2-OA2=SO1-P+r2-OAc=SQSN+r2-OA2=RPRM+r2-0A2=RO2-r2+r2-OA2=RO2-OA2=RA2即有4S=4R.例7如图8-10所示，已知点尸是0O外一点，PS、PT切OO于点S、T,过P作Oo的割线211QAB交Oo于点A、B,交ST于点C,求证：一=+PCPAPB分析将PC?转化为点尸的晶与点C的箱之间的关系式，可得到PC、PA.PB之间的数量关系.证明连结P。交ST于点，则PO_1ST,且SH=HT,连结S。，则PC1=PH2+CH2=PS2-SH2+CH1

6、=PS?+(CH-SH)(CH+SH)=PS2-SCCT=PAPB-ACCB=PA-PB-(PC-PA)(PB-PC)=PAPB+PC2-PPA+PB)+PA-PBt故2PAPB=PC(PA+PB),PCPAPB说明题中PC2=P4PB-ACCB,即尸C?=P的哥+C的金，请读者留意.例8如图8-11,三个圆两两相交于A、B、Cs。、E、F,证明：若其中有两条相交，则AB、CD、“三线共点.图8-11分析通常证三线共点，可先证两线交于一点，再证第三条也过该点.证明设Ag与CQ交于点P,连结PE交Oa后于点E及另一点。，则PBPA=PFPE=PDPC.从而尸在OCz)E上，也在OABE上，故尸是

7、OCoE与OABE的交点，从而尸与尸重合.从而EF与EF重合,即AB、CD、EF三线共点.说明到两个不同心的圆鼎相等的点的轨迹是一条直线，称为两圆的根轴.根轴垂直于两圆连心线，当两圆相交时，根轴是相交弦所在直线;当两圆相切时，根轴就是过切点的公切线.写个圆两两相交有三条根轴，这三条根轴或交于一点或两两平行.三条根轴的交点，我们称为根心.根心若在三圆外部，则根心是唯一的到三圆切线长相等的点.例9如图8-12,Oa交6。2于A,O两点，过点。的直线交001于点8,交0。2于点C,E是AO上异于A、D的点,连结BE交。2于点/、N,连结CE交0于点P、Q.(1)求证：P、MXQN四点共圆；(2)设过

8、点尸、M、。、N的圆圆心为O3,求证：图8-12证明（1）由EPEQ=ED*EA,EMEN=EDEA,极EPEQ=EMEN,所以P、M、Q、N四点共圆.由于BMBN=BDBC,又BD（BD+DC）=BD2+BD+DC,BMBN=BO；-r；（4为Oo3的半径），故BD2+BDDC=BO-片，同理Co2+8。DC=CO1-r故BO?cd?=BOj-COj从而DOy1BC.说明这里MN是OO2与OO3的根轴，P。是OO1与CO,的根轴，CO-002，。的根心，请读者体会根轴上的点的等事传递作用.习题81 .若E4、PB是Oo的切线，割线尸EC交OO于点区C,点P、E在A8同侧，交AB于点O,如果P

9、E=2,CD=1求Z)E之长.23 .如图，PA.PB分别为两个同心圆的大、小圆的切线，且PB交小圆于点8.求证：PB2-PA1=CB2.4 .凸四边形ABa）内接于OO,若BA交CD于点P,AD交BC于点、Q（如图），求证:PQ2=P的暴+Q的事5 （第3题）6 .锐角三角形ABC中，4。_1BC于点O,BE1AC于点E,C于点F,点”是垂心，点。是外心，DE交BA于点、P,FE交BC于点Q,连结P。、OH,求证：PQ1OH.78 .如图，A6C中，AoJ。于点）,以AQ为直径的圆交A8于点M,交AC于点N,连结MN交AD于点、G,延长Ao交A5C的外接圆于点E.求证；（I）M、N、CsB四

10、点共圆；（2）AD2=AGAE.6 （第5题）7 .设ABC。内接于圆。，AD交BC于点E,AB交CD于点、F,若OO的半径为10,OE=23,OF=20,求EF8 .如图，A3C中，A。平分NBAC,AW是BC边上的中线，AM力的外接圆交AB点E,交AC于点F,求证：BE=CF.（第7题）9 .如图，已知Oo-点尸，PZP8切OO于点A、B,M是AP中点，N是AB中点,MN交二。于点C,连结No交尸B于点Q,求证：四边形PMNQ菱形.10 （第8题）11 .已知：C与0。2外离（如图），AB.CD分别为O。r：O2的直径，且4。BC,设AC与交于点K.求证：由K向两圆所作切线长度相等.12

11、（第9题）13 .已知一。与OC外切于点,且都与Oo内切，切点分别为4、&，如图所示，过点K作Oo1与0。2的公切线交。0于点P,PA交Oa于点名，PA2交。2于点B2,证明：鸟&是。|、。2的公切钱.PDPEPC,解得住二-3yr2 .设大、小圆的半径分别为R、r,则尸由=Po2一,，PA2=PO2-R2f故3 PB2-PA2=R2-r2=OC2-OB2=CB2.4 .在PQ上取一点M,使NPWo=NPCQ,则。、M、Q、C四点共圆，故PDPC=PMPQ.又NQMz)=I80NPMo=I80-Nocq=NOCB=NPAQ.故。、M、P、A共圆，从而QMQP=QQA,故PQ2=PQ(PM+QM

12、)=PQPM+PQQM=PD-PCQDQA=P的第+Q的事5 .易知A、B、。、E四点共圆，直径是A5,故尸”2=尸的辕+h的基=q4P3+3HHE,若设AB中点为G,则OG_1AB,Ao=R（R是AABC的外接圆半径）.从而PH2=PG2-AB2BHHE=PO2-OG2-AB2+BHHE44=PO2-OA1+BHHE=PO2-R2+BHHE,同理Q?二。的第十斤的某+从而尸2。“2=尸。2一。2,故尸6 （第4题）7 .(1)连结用、ND,则。DN1AC,又AZ)_1BC,从而40?=AMAB,AD2=ANAC,故AMAB=AVAC,所以M、N、C、B四点共圆.(2)连接BE,则4E=4C=

13、ZADN=ZAMN,故“、G、E、8四点共圆，于是AAfA3AGAE,又AD2=AMABf从而AZ)2=aGAE.8 （第5题）9 .七/2=E的轻+/的冢=Eo2产+f02一r2=232+202-IO2-IO2=729,故肝=27.10 .由圆幕定理知BE84=8W6O,CFCA=CDCM,从而毁=殷S.弛.，乂M是BCCFCDBACM中点，故BM=CM,从而叫=1,CMA八E八/X斗BDBAI1HBDcAtT口AO平分/BAC,故=,从而=1,于是DCCADCAB=1,BE=CF.CF（第7题）11 .连结PN、NO,易知P、N、。三点共线，连结。4、OC、OD,易知。4_1PA,AN1PO,故P尾=PNPO,又PA1=PaPC,从而PNpO=PDPC,所以N、D、C、。四点共圆，仄而NPNQ=NOCDZDoC=