专题01 扇形、弓形的周长和面积+刘子琳.docx
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1、1、扇形、弓形的周长和面积平面上到定点距离等于定长的点的集合称为圆.扇形、弓形都是圆的一部分,圆中一段弧及过该弧两端点的半径围成的图形称为扇形;由圆得弦及所对的弧围成的图形称为弓形.设圆的半径为r,则圆的周长为C=24r,面积S二万尸.trrnH7若扇形的半径为,弧所对的圆心角为,则扇形弧长为/=丝,扇形周长C=-z+2r,面积S=-.180180360弓形面积则需要考虑弧所对的是优弧还是劣弧,如图1-1,弓形AQB的面积S=SWs+So8,弓形的周长C二弧长+弦长.由圆、扇形、弓形等构成的图形面积或周长计算通常需要一定技巧,处理这类问题的手段是分解组合、等积变形等等.例1如图12,AB,CD
2、是。的两条互相垂直的直径,且A3=2,以点3为半径画弧AE交Co延长线与点瓦又四边形瓦GO为正方形,求阴影部分的面积.分析将图形分割为AED区域和OEFGB区域,其中AED区域的面积等于扇形ABE的面积减去扇形AOD的面积及AOBE的面积之和./7解注意到BA=BE,且E。垂直平分AB,故MBE为正NABE=6。QE=汩AB=瓜2所以SADES八班一SAa)-S&OBE=(3)244=3-4-c3故S=3d.62例2如图1-3.正方形ABCD的边长为兄分别以A,8,C,。为圆心,,为半径画弧,求四条弧所围成的阴影部分面积.解如图1-3将正方形各部分进行分割,面积相等区域用相同的字母表示,于是x
3、+4y+4z=6t2x+3y+2z=等.另外,设以点Ao为圆心的弧交于点E,则AE=。E=AD,AOE为正三角形。11htC7tC1y/3。71dyj37Gk所以x+2y+z=2xc-.6434于是5=2-42=(6一3+|4)。2说明此题关键是发现AT)石为正三角形,因此,请读者在解决问题时宜用心掘潜在条件.例3如图14,扇形的半径为20,圆心角为144,B,C,D,E,F,G,“是扇形弧线八等分点,求阴影部分的面积之和.分析合理分割,小心拼接解连接OE交。厂与点”,交GC与点J,交”8于点K,交A/与点N,连接。尸与A/与点。,连接OG交H8于点p,连接0H.易证AOFM=MONySQNM
4、F=S/”从而区域IHGFQ为公布部分,故Siof=SFMN1又AGZO=AOK”,所以又区域G”产为公共部分,椒SGHKJ=S/从而区域RWM中,S=SiofSHoG=S1OG362=r360=40乃.由于对称性,于是在区域A/FD中,S=80%例4在一个三边长为50,120,130的三角形内部与外部分别取出与三角形边上至少有一点的距离为2的所有点,求所有这些点构成的区域的面积.解依题意得,所求面积区域为图1-5中A用G的外围部分面积.A3C的三个顶点在一起处各有一个小扇形,半径均为2,合在一起恰好为2的圆,故图中A5C外部面积S1=-22+(50+120130)2=600+4-.其次,易知
5、,1B1C,ABC,且共内心,内切圆半径相差2,由于AABC的内切圆半径为50+120-130=20,故AA1耳G的内切圆半径为18.AAIBC_81AABCioQ1所以SMBIG=JGXSMBC811S=X501201002=2430.例5在边长为1的正五边形ABCDE内,去掉所有与各点距离小于1,求余下部分面积.分析关键是确定余下部分形状.解如图1-6所示,分别以AB,C,Q,E为圆心,以1为半径画弧,这些弧围成一个“曲边五边形”MNpQR,其余的部分由五个等积的形如“曲边三角形N8C的图形组成.注意到曲边三角形NBC与扇形NoC的面积之和等于AONC与扇形NCB的面积之和,所以所求余下面
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