《线性代数B》强化训练题三解答.docx

《《线性代数B》强化训练题三解答.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《线性代数B》强化训练题三解答.docx（5页珍藏版）》请在第一文库网上搜索。

1、一、填空题1.-2:2.3;6.5;7.1;线性代数B强化训练题三解答3.+Z?W0;4.0;5.1;8.a,(1,1,1)r;9.(1,+oo)二、单项选择题I.B;2.C;3.B;4.D;5.C1-11-1x+1-11x-1x+1-1三、计算行列式。=1111-1解:将第2列到第4列全部加到第1列，并从第1列中提出公因子X得到1-11x-1再将以上行列式第1列分别加到第2,4列，以及第1列乘-1加到第3列，得到10001x00D=x=x4.10x0IOOx2000、*1200四、求解矩阵方程3AXA=16X4+,其中A=1120解：A=16,A*=A1=16A-,方程变为16A1(3E-A

2、)XA=E9从而X=16、(3E-A)-1.O1-1-1O0、OO1OTb(3E-AE)=OO1-11000、rI0001000O1OOO1OO1100OO1O001021100001；“0014211OOO1r101600、1100?6T6101J_18Te11;48UO1i11所以X=16-X=1621d2OO116116OOO116;五、求向量组二（1,2,5尸,生二（0,2,1）丁二（一1,4,2）7,%=（032）丁的秩和它的一个极大无关组，并将其它向量用此极大无关组线性表示.q0-10、0-10解：记A=（6,电，。3吗）=22430263-12-2；-17-20-10、f10-1

3、()0-17-201330、0020-1、00-201秩4,电，。3，。4）=3；极大无关组为且。3=一。1+334-20%x1+x2+x3+x4=Ox+2x.+2xd=b_六、讨论当,b分别取何值时，线性方程组-34无解、有唯.解和x2(3-)x3+3x4=23x1+2x2+Xj+ax4=-1有无穷多解,并在有无穷多解的情形下求该方程组的通解.(1110、013-32013-a32C21a-1?-1-2a-3-1n1110、0122b001-121bOOa-I上,1当。=1且力W1时，3=R(A)wR(8)=4,方程组无解;当时，R(A)=R(B)=4,方程组有唯一解;当。=1且8=1时，R

4、(A)=R(B)=34,方程组有无穷多解，此时通解X=c(1,-2,1,0)r+(0,-1,0,1/,其中C是任意常数.七、用正交变换化二次型f=x；+2x；+W-2玉XJ为标准形，并写出所用的正交变换.10-P解：二次型矩阵A=020.-101E-A=2(2-2)2=O,A-I0102-20102-1得到A的特征值4=0,4=4=2.由A-OE=由A-2E=10-1-101-0,得对应4的40JO,得对应4,4的$=1，刍T101标准形为F=2货+2代.正交变换为X=Qy其中Q二八、证明题设4,4是4的两个不同特征值，阳，4是A的对应于4的两个线性无关的特征向量,而与，八是4的对应于4的两个线性无关的特征向量.试证明Xpx2,x4线性无关.(*)证:考虑x1+k2x2+r3x3+k4x4=0,用A左乘(*),并利用特征值特征向量定义所满足的关系得到4(KXI+c2x2)+A2(kixy+Ar4X4)=0,(*)综合(*),(*)有(KX+&*2,+%”4)(=(0,0),注意到4,4互不相同时,可逆，在上式两端右乘14U,得到(k1x1+k2x293x3+4x4)=(0,0),即KX1+Ar2X2=O以及&七+%均=，分别利用孙X2以及七，%线性无关推得K=A2=0和%=&=，这就证明了X1,x2,x3,X4线性无关.