15 梯形+孙涛.docx
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1、15梯形有且仅有一组对边平行的四边形称为梯形.平行的一组对边分别称为上底与下底,不平行的一组对边称为腰.两腰中点的连线称为梯形的中位线.上、下底之间距离称为梯形的高.梯形中位线定理梯形的中位线平行于两底,并且等于两底和的一半.梯形的面积公式S梯形二;(上底+下底)高梯形有如下几条重要性质:性质1梯形的两条对角线的平方和等于两腰的平方和加上两底乘积的两倍.性质2对于梯形ABCf,AD/BC,连结对角线AC、8。相交于0,则有=,V=qQ-QuR4D一uCDUMO8-uCW*性质3梯形的两底中点的连线(即中线)长等于两腰平方和之2倍与两底差之平方的差的平方根之半.=y2(C2+D2)-(A-DC)
2、2.性质4(梯形的施坦纳定理)梯形两对角线的交点与两腰延长线的交点的连线必平分梯形的上、下底.事实上,如图157,设梯形ABCo的对角线交于点E,两腰的延长线交于点八直线E尸交于AB于点N,交CD于点M.注意到AB/DC,则由DMMEMCDMMCG=,有=NBENANNBANDMFMMC*DMMC小ANFNNBANNB由,两式相乘、相除即知DM=MC,AN=NB.图51处理梯形问题时,有时通过添加辅助线把梯形转化成平行四边形或三角形.如:在梯形内或外平移一腰得平行四边形,或延长两腰得三角形;过梯形上底顶点作梯形的高得直角三角形或矩形;平移对角线得平行四边形等.两腰相等的梯形称为等腰梯形.等腰梯
3、形还有下述性质:两腰相等;同一底上的两个角相等;两条对角线相等;是轴对称图形,对称轴是过两底中点的直线.等腰梯形的判定,除了定义之外,还可先证明是梯形,再证同一底上的两个角相等,或两条对角线相等.有一个角为直角的梯形称为直角梯形.例1已知一个梯形的四条边的长分别为1,2,3,4,则此梯形的面积等于().A.4B.6C.82D.23(2000年全国联赛题)解:选D.理由:以1,2,3,4为边长作梯形只有以下六种可能:(1)以1,2为底;(2)以1,3为底;(3)以1,4为底;(4)以2,3为底;(5)以2,4为底;(6)以3,4为底,易知只有(3)才能构成梯形,其他情形都不能构成梯形.如图15-
4、2,设在梯形48CQ中,AB=3,BC=4,CD=2,DA=.过4作BC于”,作A七。交8C于E,则4BEA为等腰三角形(84=8E).由得H=32-I2=/2故sABCD=(,4)=y2.图152例2梯形的两底角之和为90,上底长为5,下底长为11.则连结两底中点的线段之长是().A.3B.4C.5D.6(1996年安徽省部分地区联赛题)解:选A.理由:如图15-3,设梯形ABCo中,ZA+Z=90,AB=11,CZ)=5,G、H分别为C。、AB的中点.过C作CC/DN交AB于C,则有N+NB=90,知NGCB=90.设CE为斜边GB上的中线,CE=BC1=1(11-5)=3.又G、”分别为
5、。C,A8的中点,则=-8E=5.5-3=2.5=CG,从而知CGHE为平行四边形.故GH=CE=3.图15-3例3在梯形ABCO中,力BCO,A8=38,E是对角线AC的中点,直线BE交Ao于巴则AF:FD的值是().53A.2B.-C.-D.132(1996年黄冈地区竞赛题)解:选C.理由:如图15-4,过。作CG尸交的延长线于G由A8CO,CG/BF,WDGDC1又由CG8RAE=ECt得A/=FG,于是,FD=2DG.例4如图15-5,ABCO为梯形,一条直线与DA的延长线,AB.BD、AC.CD、8。的延长线顺次交于点E、尸、G、H、KJ.若EF=FG=GH=H1=IJ,则Ao:8C
6、=.(1998年上海市竞赛题)I1MBJ-CJBC从而=AEAE10hAE3即=一3BC10同样,BJ3ED2CJ1ED4从而BJ-CJEDBC=EDhED4即=-BC5由,得像AD5BC102例5如图15-6,在梯形ABC。中,48。CA4=8,BC=6,N8CZ)=45,NBAO=120,则梯形ABCD的面积等于.(2000年全国竞赛题)解:填66+65.理由:过8作BE_1OC于E,过A作AR1oC于E因BC=61N88=45,故跳:=Ec=A尸=6.因NZMF=N30,故DF=2下.于是S梯形ABeD=g(A8+。尸+FE+ECA产=66+66.例6如图15-7,四边形ABCO是梯形,
7、点E是上底边A。上一点,CE的延长线与BA的延长线交于点F.过点作BA的平行线交CD的延长线于点MtBM与AD交于点M证明:ZAFN=ZDMe(2007年全国联赛题)证明:设MN与EF交于点P,如图15-7.PNpp由NE8C知aPNEsP8C.所以H=W,即PRPE=PN,PC.PBPCPMPC同理,PRPE=PM.PF.所以PNPC=PMPF,即P1=1k.PNPF又ZFPN=ZMPE,有APNEsdPMC,则NPNF=NPMC.从而NF/MC,有ZANF=ZEDM.又BR则?W=NAffiD,即有ZANF+ZFAN=ZEDM+ZMED.WZAFN=ZDME例7如图15-8,在四边形A8C
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