11 高次方程+黄世桥录入.docx

《11 高次方程+黄世桥录入.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《11 高次方程+黄世桥录入.docx（4页珍藏版）》请在第一文库网上搜索。

1、11高次方程踢足球，首要的且必须的是，学会玩足球中国前国家足球队教练米卢让我们一起来玩“魔术”吧！看着方程x2-x-6=0,即(x+2)(-3)=O,想你所想，即变.想1式子x+2换为/一2,方程如何？得方程(2-2)(x-3)=0,即为三次方程3-32-2x6=0.想2式子x+2换为x2-2x15,方程如何？得方程(x2-2-15)(-3)=0,即为三次方程3-5x2-9x+45=0.想3式子(x+2)(-3)中的X换为X2,方程如何？得方程，+2)(-3)=0,即为四次方程x4-x2-6=0.想4式子(x+2)中的X换为a2X,式子(x3)中的X换为2+2x,方程如何？得方程(f-+2)0

2、2+2-3)=0,即为四次方程x4+-3x27x-6=0.想5式子(x+2)(-3)中的X换为X+,方程如何？X(XH3)=0,即为方程kYHHk=O,即x4-3-4x2-x+1=0.你还可以继续想下去，变下去，就会得到许多许多你能够解决的，但你可能求曾见过的方程.上述方程，都是涉及三次或三次以上多项式的方程，又叫做高次方程.如何理解这些高次方程昵？回头看“来路”.对于多项式方程，可以考虑用因式分解，但有一定的难度，通常可以考虑用待定系数法，即设X4+x3327x-6=(,v20v+b)(x2+cr+结合恒等式的性质，尝试求“，b,C,d,从而转化方程为二次方程.对于多项式方程，又做倒数方程，

3、考虑将方程的两端同时除以X2后，运用换元把原方程转化为会解的方程.“实践出真知”，让我们一起来实践对上述方程求解的认识.例1解方程XJ3x+2=0.基本思路观察方程后知方程左边系数的和是0,则有因式x1.从而将方程转化为-1=O,或X2+%2=0.易求得结果.解原方程可化为(x3-1)-3(X1)=0得(x-1)(x2+x-2)=0,即(x-1)(x+2)(x-1)=0,解得X1=X2=1，X3=-2.说明对于高次方程，如果方程中各项的系数和是0,那么这个方程必有根是1通常首先观察X=I或X=-I是否是高次方程的根.若是，则可以容易地转化方程为已会解的方程.例2若关于X的方程(x-2)(2-4

4、x+M=0有三个实数根，且这三个根恰好可以作为一个三角形的三条边的长，则?的取值范围是.(2011全国初中数学竞赛题)基本思路转化为考虑方程f-4x+m=0的两根即，必满足k-W2,得K)，且2,所以有=16-4zn0,且,一切2.而由求根公式(或根与系数关系)得WT2=出产”=而，因此0日64mV4,解得3Vm4.故所求m的取值范围是3+(；-4)=X一2,转化题中方程为y4+24j2-297=0,即为双二次方程.解利用对称性，取0与4的平均数来设元，即设x=y+2,则X4=y-2.于是方程化为(j+2)4+(y-2)4=626,即/+24-297=0.因式分解得(/-9)(y2+33)=O

5、.又V=33无实数解，所以y2=9,即y=3,从而x=5或1=-1.故方程的解为X=5或X=-1.说明遇到类似于例3的方程a+4+。+。)，=。，常换元为。一G2+(y+)2=c,则需待定=+得d=U,从而令y=2x+代换简化问题.y+d=x+b,22例4解方程2+3f-16f+3x+2=0.解观察方程特点，发现方程中各项系数关于中间项对称.由原方程可知0,则在方程两同除以X2,得2(T)+31+小16=0.人1令+-=yt=+4+2,解得X3=-2-y3,X4=-2+JJ.所以，原方程的解为玉=；,m=2,3=-2-3,x4=-2+3.说明类似于例4的方程称为倒数方程，解这样的方程通常运用例

6、4的解法求得结果.你能运用其他思路求解方程2x4+3x3-16+3x+2=0吗？例5解方程(-2)(x+1)(x+4)(x+7)=19.基本思路利用对等性，配对相乘(-2)(x+7),(x+1)(x+4),整体代换y=2+5-5,转化为/=100.解两两相乘，考虑整体代换.(x-2)(x+7)(x+1)(x+4)=19,(x2+5x-14)(x2+5x+4)=19.a(x2+5x-14)(x2+5x+4),_y=-=x-+5x-5,则有。一9)(y+9)=19,即y2-8i=i9,解得ji2=10.当y=10时，x2+5x-5=10,解得大；当y=10时，25x-5=-10,解得；例6关于X的

7、方程X3一加一2数+/1=0只有一个实数根，求的取值范围.基本思路转换角度看作是关于。的一元二次方程.尝试分解因式发现有“=-1,=f+x+1.解原方程因式分解得(X1)a-(x2x+1)=0解得a=x-或a=x2x1.于是x=a+或x2+x+(1-)=0.因为原方程仅有一个实数根，所以方程x2+x+(1。)=0必无实数根，从而有=1-4(1-0,解得a-.4故符合题意的a的取值范围为aO)的两个实数根N,x,满足0%七工.当OVXVX1时，证明：xar2hxc0,得工=一1.3 .令y=(x+3)x+1)=+2,则原方程化为(y+a+G，-1)4=82,BP/+6-40=0,令产=，得“2+

8、6-40=0,解得u=4,=10(不合题意，舍去).因此y2=4,解得y=2,从而得X1=O,M=一4.4 .把方程左边分组配方，得(x4+2x2+1)+(2+2x+1)+1=0,即U2+ip+。+i)2=一.因为02+1)20,(x+1)20,所以(2+1)2+(x+1)20.但右边是一1,所以不论X取什么实数值，等式都不能成立.故方程x4+3,v2+2x+3=0没有实数解，即方程的实数解个数为0.5 .可以用因式分解，原方程化为2+1)(2r-1)(-2)=0,解得总=,必=2.或者令y=+,原2X方程化为2卜+2+2)-5+1)=0,即共2厂5)=0,得y=0(舍去)，或y=g,即2rz

9、-5+2=0,解得Xi=，X2=2.2x-=yf则原方程化为（2yX6 .方程两边同除f,贝IJ原方程可化为61/+!）-25（4+）+12=0,令3)(3y-8)=0,解得川=y=-.可求得为=2,x2=-，4=3,x=-.23237 .当x+2=0时，X2-X-IWO,则由=-2,当X2X-I=I时，(x2一1一1产2=1,得/一工一2=0,解得x2=-1,%3=2；当一工一1=一1时，解得Xi=O,X5=1又5=1使得(x2x1)2=(1)3=一11所以M=I不是原方程的解.故原方程的解为即=-2,m=-1,X3=2,x=0.所以(OV2+bx+c)-0,即or28 .由题意有OV2+(b-1)XC=(-x)(-m).因为OVXVX1VX2x.又(Or2+bx+c)-x=(-x)(-M)+1，且1+(-a)1-甑1ax=0，所以Or2+bx-cx,因此，当OVXVXI时，xax1bxcx.