10 根与系数的关系及其应用+黄世桥录入.docx

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1、10根与系数的关系及其应用湖光秋月两相和，潭面无风镜未磨，遥望洞庭山水色，白银盘里一青蝶.刘禹锡望洞庭在前面我们已经认识并了解了一元二次方程与方程的根的关系.我们知道，方程是由系数、未知数及未知数的次数构成的，也就是说，一元二次方程可以认为由各项系数所决定，如二次项、一次项和常数项系数分别为2、3、-4,那么这个一元二次方程就被确定了，即是2x2+3x-4=0.自然地，这就引发我们去思考，方程的根与方程的系数有怎样的关系呢？让我们共同探求吧.如果一元二次方程OX2+Zu+c=0(存0)的两根为由，12，那么就有ax1+b-c=a(-)(-2)式与式也可以运用求根公式得到.上述公式与，人们称之为

2、韦达定理，即根与系数的关系.因此，我们知道，给定一元二次方程OX2+版+c=0(存0)就一定有式与式成立.反过来，如果有两数内，必满足式与式，那么这两数内，必是一个一元二次方程加+加+C=O的根.利用这一基本知识常可以简捷地处理问题.利用根与系数的关系，我们可以不求方程0x2+Zu+c=0的根，而知其根的正、负性.在a=-40cK)的条件下，我们有如下结论：当o时，方程的两根同正或同负.若-2o,则此方程的两根均为正根；若-2vo,则此方程的aaa两根均为负根恰是一元二次方程如“银盘”，根与系数总“相和”.例1设即，X2是方程/一2(&+1就+炉+2=0的两个实数根，且(为+1)(及+1)=8

3、,求攵的值.基本思路由判别式得A的取值范围，由根与系数的关系及题设得方程F+2Z3=0.解由题意得=-2(4+1)24(+2)0,得fe-.2又iX2=2(1),XIX2=炉+2,那么(X11)(X21)=X2(X1X2)1=8,即F+2+2(2+1)+1=8,A2+2-3=0,解得M=-3,C2=1.但Ai=-3不满足Q，所以A=12说明上述讨论的前提是方程有实数根，所以一定要注意满足判别式，否则就会得到不正确的结果.例2已知x,也是方程x22mx+(?2+2?+3)=0的两个实数根，求X；+考的最小值.基本思路同例1,别忘由判别式得相的范围，然后用根与系数关系得到工：+芯=2川24加一6,

4、配方后求得结果.解由题意知=(-2)2-4(2+2+3)O,得壮-之.2又XiX2=，xX2=nf2w3,则；+考=(xx2)22xX2=4wr2(m22m+3)=2nr46=2(777I)24.35由n，tn1，则2275Q所以片+考=2(n-1)2-42-8=I.故4；+石的最小值为g,此时机=-|.说明用配方来求二次式的最大值(最小值)，是初中求一类最值问题的基本技巧.例3如图10-1,过正方形ABCD的顶点C任作一条直线与A8、AD的延长线分别相交于点尸、Q.求证：P+A22D.基本思路不妨设ABCD边长为,观察图形可知SAAPQ=APC+AQC,由面积公式得:A尸.AQ=goAP+g

5、AQ,即APAQ=a(AP+AQ).因此可构造以AP、AQ为根的一元二次方程，并勇冠20来证明结论.解由题设可知Sapq=Sapc+Saaqc，得TAPAQ=gA尸+g4AQ即APAQ=(AP+AQ).于是，可以将AP、AQ看作是方程x1-(AP+AQ)x+a(AP+AQ)=O的两个实根，所以判别式=(42+5024a(4P+0O,即AP+AQ4”,因为在正方形ABCO中，BD=JaB2+AD2=a2+a2=2,所以a=BD,从而有24P+494-BD=22BD2例4已知方程f-3x+2一炉=O,为实数，且原0,证明：此方程有两个实数根，其中一根大于1,另一根小于1基本思路先计算判别式大于0,

6、后考虑(-1)(6-1)是否小于0.解因为方程f-3x+2-F=0的判别式=(-3)24(22)=1+4*o,所以方程有两个不同的实数根，不妨设为0,0,且Q.由根与系数的关系得+J=3,a=22,a-1)(?-Y)=a-(a+)+=2-2-3+1=-A20),且等号当且仅当C=理，=b=一蚯时成立，故&的最大值为4.2解由已知条件知，a,b,C都不等于0,且c0.因为H=J0,+b=-4V0,所以abO.cc由一元二次方程根与系数的关系知，m人是一元二次方程211nXHrX4=0CC的两个实数根，于是=-y-20,CC所以ci4c=4c,等号只有当=也=(),得a=b=-&时成立.2故A的最

7、大值为4.例7已知a,b,C为实数，且40,b2-ac0注意到方程右边的式子可以是(X-JQ)(X-M),令x=和x=c,得其积式的正负性.证明(1)因为0,b2-ac0,即叱。20.由根与系数的关系得x+i2=+c0,XX2=-/+0,由此可知方程两根X”M都是正数.(2)因为方程的两根为Xi，M，则有x+x2=4+c,xX2=-b2-act于是(。x)(aX2)=0,又X1X2,则MX1同样地，有(cX)(c-%2)=-Z0.则由汨女2得X2CX.故结论成立.习题101 .己知6。2IOoa+7=0及7-100b+6=0,且厚1,求人的值.b2 .已知方程(1999x)21998x200Q

8、1I=O的较大根为川，x2+1998x-1999=0的较小根为，求切一的值.3 .己知序+71?一1999=0,2+7Iw-1999=0,且“而，求的值.tnn4 .已知一元二次方程f-4t+5-64=0有两个实根，且两根之差的绝对值为6,求的值.5 .。为何值时，方程(4+1)+(5)氏+3+6)=0的一个根比另一个根的2倍小1?6 .已知方程2-2at+Q2-。+6)=0的两个根为,试求(-1)2+(/-的最小值.7 .已知实数X,y,z满足x+y=5及z2=q+y-9,求x+2y+3z的值.8 .已知,夕是方程/一彳一1=0的两根，求*+34的值.9 .设。是正瘦，求证：方程!+下=0有

9、两个同号的实数根.Xx+ax+a10 .设。是实数，已知X的二次方程一2以+/4=0.(Da为何值时，方程有两个正根？(2)为何值时，方程有一正根、一负根？心智体操我给你一根金色线头，绕成一个球形，她就将把你引领到，天堂之门英W.1757-1827)参考解答习题101.由于1002-4x6x70,且6(1)-1OW+7=O,所以m,是方程6f100x+7=0的两个实数根，那么x1=2.b62 .易知方程19992d-1998x2000-1=0有一根是1,且由根与系数的关系知x=1是此方程的较大根m,即加=1(较小根是负值为-一二)；x2+1998x-1999=0的根是一1999和1,得较小根为

10、一1999,即19992=-1999.于是小一二1一(一1999)=2000.3 .由题意知小，是方程2+7111999=0的两个不同实数根，则有?+=-71,/M=-1999,于n1+1_6+_71_71nnm-19991999,4 .由题意知=(-4q)24x(5/6)=4(6-)20,即OWaW6.设原方程两根为乃，如则汨+刈=4a,X1X2=5a26。.于是IXI-X2=J(X1+%)?-4xx2=J(44)-4x(5?-6)=24a-4a2=6,得(3产=0,4=35 .同题意知=(-5)2-4(+1)3+6)=3/38。+1N0.设此方程的两根为x,%2且有汨=比一1,则由xi+m

11、=三，X1X2=匹，得Z=二一，X1=三人，且二一X上二空2,整理后得(+9)+1+1a+1a+1a+a+=0,解得=0或=9.当=0或。=一9时，都有(),所以符合题意的。为0或一9.6 .由=4a24(a2+6)20,得26.又+=24,a=a2-a+6,那么(?_1)2+(夕_)2=(储+夕2)_2(?+夕)+2=(a+夕一2。一2(+Q)+2=4a22(cr6)2(2a)2=2a22a0=(2-1)2-21J.又。26,2a-112-1=11,所以(a1)?+(万一碟(112-21)=50.故(a-1)?+(夕-if的最小值是50,此时a=67 .由题意知z2=x(5-x)+(5-x)

12、-9,即*-4x+4+z2=0,则(x-2)2+z2=0,所以x=2,z=0,)，=3.故x+2y+3z=2+2x3+3x=8.8 .考虑a4+3的对偶式+3a,则需计算(/+34)+(夕+3a)和(优+3)-(夕+3a)的值.因为(/+3夕)+(夕+3a)=(a+)2-2a-火溶+3(a+尸)=10,(a.+34)一(夕4+3a)=(a-,)(a+0)(a+)2-2a?-3=0.所以优+3/7=5.注：考虑对偶(等)式，这是一个处理较为复杂问题的基本意识.9 .当0,xa,一/时，原方程化为3f+(2/+2a)x+/=0,则A=(2a22a)243a3=4a1(cra+1),当。为正数时，(),所以原方程有两个不同的实数根.令方程的两根为X”及，则有即+“2=-a(a1)xX2=.当。为正数时，x20,所以x,及同为负数根.3310 .由=4。24(/4