04 函数与二次不等式+任科.docx

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1、第四讲函数与二次不等式一元二次不等式经过化简后，一般可以表示成下面的两种形式之一：(1)ax2+bx+c0(a0);(2)ax2+bx+c0)若=从-4c0,我们可以先考查与之对应的一元二次方程的两根不毛，此时不等式(1)的解的情况是：“两头跑”(小于小根，大于大根)，不等式(2)的解的情况是：“中间找”(大于小根，小于大根).二次函数、二次方程及二次不等式三者之间有着密切的联系，求解一元二次不等式时，注意利用二次函数的图象以及对应的一元二次方程的判别式.【例1】解关于X的不等式：2x+3解：原不等式可化为2(77)2+-30,即(2+3)(-1)0因为24+30,则所以1,解得x1.【例2】

2、解关于X的不等式：5x+240,即(X-8)(x+3)0,解得x8当x0,即(x+8)(x-3)0,解得x8或XV-8.解2:因为/=时，则原不等式可化为一5凶一240,即(W-8)(W+3)0,又因为W+30,则解为k8.所以，原不等式解为x8或XV-8.说明本题也可以利用函数y=f$同一24的图象来解.先作函数y=f-5-24的图象，再保持y轴右边的图象不变.然后把这部分图象关于y轴对称地翻到左边，得到的关于y轴成对称轴的曲线就是函数丁=炉一5国一24的图象.【例3若不等式,2+qx+0的解为2工4,求实数，夕的值.P2+4=-pq由题意知PVO且2、4是方程12+qx+p=0的两个根，贝

3、IJ有2.4=【例4】设。为参数，解关于X的一元二次不等式02-(+i)+o.解(1)当=0时，原不等式化为r+11.(2)当aw时，原不等式可化为(-1)(一1)v.a若0时，则化为(x)(XT)0a当时，即OVaVI,解为IVX1,解为xv1;aa当1=I时，即a=1,不等式无解.a若0时，则化为(x)(XT)1,解为1X1；OVaV1,解为1vx1或x1评注：本例对。的讨论分三层：(1)讨论。是否为0；(2)讨论。的正负性，这是由于在进一步的变形中，不等式两边需除以,由不等式的性质知，除数的符号将影响不等号的方向：(3)讨论1与1的大小关系.a【例5】己知二次函数/(幻=以2+r+c的图

4、象如图4-1所示，ip=a-b+c+2a+b,q=a+b+c+2a-b,试比较的大小.分析：要比较PM的大小，关键是利用二次函数的图象和性质把国表达式的绝对值去掉.解：由题意得,aO,c=O,所以P=Ia-W+2+b,4=卜1+4+画一4又1,所以一6v24,则勿+。0,从而+b-O,贝IJ2ap=a-b+2a+b=b-a+2a+b=2b+aq=a+h+2a-b=a+b+b-2a=2b-a所以p0对一切实数X恒成立，求实数机的取值范围.解：当+4加一5=0时，得ZW=I或m=一5.当m=1时，原不等式化为30,恒成立；当m=-5时，原不等式化为24x+30.不恒成立.(2)当M+4m-50时，

5、由于原不等式对一切实数X恒成立，则有+4w-50解得w1或?一5=16(m-1)2-4(，+4”？-5)x301h19所以?的取值范围为Ivav19综合(1)(2),当1m2对一切X恒成立,求女的取值范围.从形式上x+x+2看,此题是分式不等式，但因为分母2+x+2=(x+1)2+N0,2 4故原不等式可转化为一元二次不等式，然后类同于上题，解出的取值范围.【例7】若抛物线y=W+0r+2与连结两点M(U),N(2,3)的线段(包括M,N两点)有两个相异的交点,求的取值范围.=OX”+力(k=,，解得，,3 =2k+bb=1所以y=+.要使抛物线y=V+r+2与线段MN有两个相异的交点，等价于

6、方程x2+0r+2=x+1在0x2上有两个不同的根，令/(x)=2+(-i)+由函数图象可知，f(x)的图象与X轴的两个不同交点位于0与2之间，因满足在X=O和x=2的函数值均大于或等于0,对称轴也在x=0和x=2之间，即有=(t-1)2-403解得上vT2/(0)=10/(2)=4+2(-1)+10C1C03或v-1,这样做法是错误的.因为题目要求是抛物线与线段有两个不同交点，即等价于所令的二次函数/(/)在。与2之间与X轴有两个交点，所以要再根据图象得到另外3个应满足的式子.【例8】己知不等式0r2+bx+cO的解是vx0).试求不等式cr?-反+0的解.解：由题意不等式加+6x+c0的的

7、解是axv,贝问得v,且Or2+b+c=ax_)(一)ba+p=由韦达定理得a,ex2-bx+a=aax1+a(a+)x+a=aax1+(+)x+1a.=-a=(ax+1)(/?%+1)又因为“aO,则得到01_1,所以所求不等式的解为一_1VX0,c0,Z?,ac,h+c,得a2-2a-3n02a2-a+6_06a2-2a-3a2、a2-a+6a6a2-2a-3a2-a+6a即等价于(T)O,即(32-5)(32+3)O,解得一半6r乎.(2)方程在-1x1上有2个实根，因为函数的对称轴为x=2,在T与1的外面，所以根据函数图象，在Tx1之间不可能有两个实根.综合(1)(2),当一巫巫时，方

8、程在T-1,求的取值范围.解：令A；)=)；Z=若=i,则=3,y=-t,z=4tRAx1+y2+z2+a(x+y+z)-1得26产+66fr+10.因为对一切实数x,y,z都要满足，即等价于对一切实数/也都满足，故有A=36-4260解得一叵叵.33【例12已知c为整数，方程5f+瓜+c=0的两根都大于-1且小于0,求b和。的值.解：令/(x)=5f+bx+c,根据题意及函数的图象知:b220c即。0b5+c得：20cZ?2100即cv5=2-20c00f(-1)=5-b+c0又因为c0及力,c为整数得：当C=I时，有方v5+c及Z-20c0,得2540,无整数解；当。=3时，有0vbv8及

9、660,无整数解；当。=4时，有0vhv9及加80,无整数解；所以满足题意的值为0=5,c=1.【例13】在坐标平面内，纵坐标与横坐标都是整数的点称为整点，试在二次函数y=2一2+2的图象.10105上找出满足yk的所有整点,y),并说明理由.解：由题意可得：黯-才狎斗整理得，x2-x+1810x下面对X进行讨论.当x0时，不等式化为V-11x+180,解得2x9把工=2,3,4,5,6,7,8,9代入)，=5一比十|,则满足Ky均为整数的有当x0时，不等式化为V+9x+184O,解得dx-3把X=-3,-4,-5,-6代入y=%f一比+|,则满足其),均为整数的有：，二,综合，满足题中要求的

10、整点是(2,2),(4,3),(7,6),(9,9),(-3,3),(-6,6)【例14】已知孙均为正整数，若关于X的方程4/-2/延+=0的两个实数根都大于1且小于2,求见的值.(上海初中数学竞赛)解：令/()=4f一2a+，要使方程的两实数根都大于1且小于2,由函数的图象可知，要满足0m24imC12h4/W84即O4+2m/(2)=16-4/+wO16+w4m已知也均为正整数，则由式知，m=5,6,7当?=5时，由得,故6,又由得6,矛盾；4当加=6时，由得9,又由或得8,故=9;当?=7时，由得竺，故12,又由得12,矛盾；4综合可得帆=6,72=9.【例15】已知C是正整数，且二次函

11、数)，=2+加+。的图象与工轴有两个不同的交点43,若点AB到原点的距离都小于1,求+b+c的最小值.解：设(j,0),B(x2,0),其中x2是方程Or2+加+C=O的两个根，又4,c正整数，则有X+z=-20,故方程Or2+6+C=O有两个负实数根，aaW-1x10,-1x20.于是大毛=1,即cO,即+c6,且A=Z/-4acO得b2ac所以+cb,+cb+12/+1,则(声一正P1,Jac+12,于是4,得“最小值为5,c的最小值为1,所以b2庇2小,即5.因此取4=52=5,c=1,此时二次函数y=5+5x+1满足题意，故+Z?+。的最小值为11.习题4,解不等式：后忒一讨2 .解不等式：x2-5