08 多项式的一次因式+刘子林录入.docx

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1、8多项式的一次因式设.+%x+%为X次多项式，本单元介绍I求它的一次因式的方法.8.1余数定理我们用/(x)表示多项式/+吁M1+.+qx+%，用f(a)表示这个多项式X=的值.例如，在f(x)=x3+6x2+1Ix+6时，/(1)=1+6+11+6=24,/(-1)=-1+6-11+6=0,/(+2)=8+24+22+6=60.如果我们用一次多项式x-c作除式除多项式/(幻，那么余式是一个数时，设这时这个商式作多项式g(x),余式(余数)为则/(x)=(x-c)g(x)+r,(1)即被除式等于除式乘以商式再加余式.在(1)式中令X=C,便得到/(c)=0+r=r,因此，我们有X-C除/(幻时

2、，所得的余数为/(C)这个结论称为余数定理.如果余数为0,那么/(X)一定被X-C整除，也就是X-C是/(%)的因式，反过来，如果X-C是/(X)的因式，那么/(X)被X-C整除，余数是0.因此，我们有如果/(C)=O,那么XC是/(x)的因式反过来，如果X-C是/(x)因式，那么/(c)=0,例1分解因式：/(x)=x3+6x2+11x+6解因为/(-1)=0,根据上面的结论工-(-I)=X+1是它的一次因式，知道这个因式后，施行除法就可以把商式求出来，不过，我们可以不用除法，直接去分组分解，这里分组是“有的放歹”的，每一组都有一个因式x+1,即x3+6x2+11x+6=(x3+x2)+(5

3、x2+5x)+(6x+6)=x2(x+1)+5x(x+1)+6(x+1)十字相乘=(x+1)(x25x+6)=(x+1)(x+2)(x+3).例2设f(X)=2-5x2+5x-3,计算/(1)(-1)(-),并把/(x)分解.33可知汇-1是/(幻的一次因式.为了避免分数运算，我们把工-：乘以2得2x-3,2x-3仍然是/(元)的一次因式.现在把/(幻分组分解，注意使每组都有因式2工-3(也就是同一组中两项的系数比为2:(-3):2x3-5x2+5x-3=(2x3-3x2)-(2x2-3x)+(2x-3)=X2(2x-3)-x(2x-3)+(2x+3)=(2x-3)(x2-x+1)8.2 有理

4、数的求法如果/(C)=O,那么就是说C是多项式/(X)的根.因此，在C是f(X)的根时，X-C是/(X)的因式.问题是怎样求出/(X)的根？我们假定。/+。小了小+.+”+4是整系数多项式，也就是说4,4,q.MO都是整数，又设有理数C=K是/(无)的根，这里国是两个质数的整数.q由于/(c)=0,即()+n-(),1+%()+6f0=0,qqq两边同时乘4”得4/+%PZ+4Pq+44=0(2)式右边被P整除。被任何一个不等于O的数整除，所以它的左边被P整除，显然左边的项都被P整除，所以最后一项是4炉也被P整除有理数C=K的分子p是常数项。的因数，分母q是首项系数%的因数.q例3分解因式：f

5、(x)=2x3-x2-5x-2.解=-2的因数是1,2,(=2的因数是1,2,因此/*)的有理数根只能是1,2,(分母为1),1因为2/(1)=2-1-5-2=-6,/(-1)=-2-1+5-2=0,于是T是f(X)的一根根，从而x+1是/(X)的因式，可见得2/5x2=(2x3+2x2)-(3x2+3x)-(2x+2)=2x2(x+1)-3x(x+1)-2(x+1)=(2x2-3x-2)(x+1)=(x-2)(2X+I)(X+1).例4分解因式：/(x)=3x3+x2+x-2.解=-2的因数为1,2,&=3的正因数为+1,+3(我们可以认为K的分母4是正的，因此为q12的因数有正负，%的因数

6、可只取正，所以/(x)的有理根只可能是1,2,.O7?/(-)=3(-)3+(-)2+(-)-2+工33339932所以是7a)的因式，从而3x-2是7(x)的因式，可得/(x)=33+X2+X-2=(3x3-2x2)+(3x2-2x)+(3x-2)=(3x2)+x(3x2)+(3x2)=(3x-2)(+x+1).例5因式分解：fM=6x4+5x3+3x2+X-2解=-2的因数为1,2,为=6的正因数为1,2,3,6,所以/(x)的有理数根值可能为1,2,-,.2336经检验C=;是一个根，所以2元+1是/(X)的因式，可得64+5x3+3x2-3x-2=(6x4+3x3)+(2x3+%2)+

7、(2x2+x)-(4x+2)=(2x+1)(3d+x?+%2)=(2x+1)(3x-2)(x2+x+1)8.3 首1多项式对于首项系数为1的整系数多项式/(x),问题更简单，这时4=1,有理数都是整数根.例6分解因式：X6+2+3x4+4x3+3x2+2x+1.解本题有理根有可能为1,+1当然不能为根(因为多项式的系数全是正的)经检验-1是根，所以原式有因式x+1,并且f+2x3x4+4d+3x+2,x+1=(x6+x5)+(x5+)(2x4+2x3)+(2x3+2x2)+(x2+x)+(x+1)=(X+1)(x5x4+2x3+2x2+x+1)容易验证-1也是V+2x4+3V+2x?+x+1.

8、的根，并且+2x4+3x2x2x1.=(d+X4)+(2d+2/)+(X+1)=(x+1)(x4+2x2+1)=(x1)(x2+1)2X6+2x5+3x4+4x3+3x2+2x+1=(x+1)2(2+1)2例7分解因式：x3-9x2+26x-24.有理根只可能为1,2,3,4,6,8,12,24.经检验，2是根，所以原式有因式R-2,并且9x2+26x24=(丁2x2)(7214x)+(12x24)=(x-2)(x2-7x+12)=(x-2)(x-3)(x-4).例8分解因式：X3-9x2y+26xy2-24y3=(x-2y)(x-3y)(x-4y).这只不过是在上题的解答上添上几个y而已.例

9、9分解因式：-24y3+26-9y+1.解为=-24,%=1,为了避免分数计算的麻烦，我们把原式改为升塞排列1-9y+26-24.如果与例8比较一下，就会发现两者实质上是相同的，即在例8中令X=1便得到1-9+26/-24/=(1-2)(1-3y)(1-4y).例10因式分解：%3X2x-.33352111XxX-I33解原式不是整系数多项式，但可以先提取!，然后按上面的办法分解，得二-5/-I1X-3)33=(x+1)(x-3)(3X+1).8.4字母系数例11分解因式：X3-(a+b+c)x2-(ab+bc+ca)x-abc解常数项-c的因数为,b,c,ab,hc,ca,abc.把X=带入

10、原式，得a,-(tz+Z?+c)a2(ab+be+cci)a-abc=ay-a3-ba2-ca2+a2babc+a2c-abc=0,所以。是原式的根，x-a是原式得因式，并且X3-(+Z?+c)x2+(ab+hc+ca)x-abc-(x3-ax2)-(/?+c)x2-a(b+c)x+(bcx-abe)=(Xa)x2-S+c)x+be-(x-a)(x-b)(x-c).例12分解因式：(/+w)x3+(3/2m-n)x2+(2/-in-ri)x-2(wri).解如果多项式的系数的和等于0,那么1一定是它的根(第5单元已经提过这个结论)；但是多项式的偶次项系数的和减去奇次项系数的和等于0,那么-1一

11、定是它的根，现在这样：-(/+/?)+(3/+2m-n)x2+(2/-m-3n)x-2(+n).解如果多项式的系数和等于0,那么1一定是它的根(第5单元已经提过这个结论)；如果多项式的偶次项系数的和减去奇次项系数的和等于0,那么1一定是它的根，现在正是这样：-(/)+(31+2m-n)x2+(2/-w-3n)x-2(/?+)=0,所以戈+1是原式的因式-(1+n)+(31+2m-n)x2+(21-m-3n)x-2(m+n)=(/+m)x3+(/+m)x2+(21+加一n)x2+(2+m-n)x-2(m+n)x+2(加+)=(+1)(+m)x2+(2/+m-h)x2(m+n)=(x+1)(x+2

12、)(ZX+mx-m-n)习题8将以下各式分解因式(1) +4-5(2) 2+7+12+14x2+IOx+3(3) xx-2y)-yy-2x)(4) x4+2-3x2-4x+4(5) 2x4+7+4x-4(6) 3x3-5x2y-3xy2+2y3(7) 6xi-5x2y-3xy2+2y3(8) 3+6x2+4x+8(9) 8a?+4(+Z+c)x2+1ab+bc+ca)x+abc(10) (a-1)x3-ax2-(-3)x+(a-2)(11) 5x4+12+17x2+9x-7(12) xi+px2+px+p-I陈习8答案1. (x-1)(x2+5x+5)2. (x1)5(2x2+x+3)3. (x+y)(-y/4. (x-1)2(+2)25. (x+1)(2x-1)(x2+4)6(x-(3x+y)7. (x-y)(2x-y)(3x+2y)8. (x+2)(3x2+4)9. (2x2ci)(2x+Z)(2x+c)10. (x-1)2(ax-x+a-2)11. (5x+7)2(x3+x2+2x-1)12. (x+p-1)(x2x+1)