09 一元二次方程根的判别式+黄世桥录入.docx

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1、9一元二次方程根的判别式羌笛何须怨杨柳，春风不度玉门关.一一王之涣凉州词是否所有的一元二次方程都有实数解呢？好像不是，如方程f-+1=O,通过配方，这却是1-gj=-j,而这不可能成立的，这说明此方程无实数解.那么，满足什么条件的方程就一定有实数解呢？我们已经知道一元二次方程以2+版+c=0(o0)可以通过配方转化为(hVh2-44cax+=,2a)4a(bV及一4acax+=；-I2a)4/根据平方根的定义，当/-4ac0时，方程才有实数根；当/-4cV0时，方程无实数根.人们把从一4讹称为一元二次方程根的判别式，记为.当=y一40c=0时，=0,那么方程有两个相同的根(称为重根)；当=启一

2、4c0时,方程有两个不同的实数根，分别为-b+5-b-由此可知，的正负性尤如“玉门关”，关联着方程有无实数根.因此说，有方程加+版+c=0(WO)就有.反之有,就可联想到某个一元二次方程.具有了这样的基本意识，往往可以方便解题.上述的求根公式，还可以变形为(2av+b)2=b24ac,这是一个非常有用的等式.例1已知”，b,C是三角形的三边，试判别方程从+(+，一/)X+，=0有无实数根？基本思路方程的判别式可分解为(bC4)(bc+GS+ca)(a+Z?+c),利用三角形三边之间的关系，知2x2+(2+c2-2)x+c2=O的判别式是=(+d4)24d二(bc)(b-c+)(b+c-)(+b

3、+c).因为,b,C为三角形的三边，所以b+cata+bc1c+ab,即bca0,b+caO.于是O.所以1、2.A3中至少有一个大于0,即至少有一个方程有不等实数根.若在处理问题时，单独处理各个式子有困难，则需有意识“考虑它们的和(或积)是否易于得到的结论？例5试求这样的四位数，它的前两位数字与后两位数字分别组成的两位数之和的平方，恰好等于这个四位数.(2003年全国初中数学联赛题)基本思路由题设可以得到前两位数X与后两位数)，满足方程+y)2=100x+y.然后仿照例2求得)025.进而考虑250099)，在y25以情形下何时为完全平方数.解设前后两个两位数分别为x、y,则10夕，0即)2

4、5.又X,y均为整数，且X=50-yj2500-99.y，那么250099)，必是完全平方数，而完全平方数的末位数字仅可能为0,1,4,5,6,9.显然，y不可能等于12,22,13,23,17,18：而对于y=11,21,14,24,15,16,19,10,20,都不能使得250099)，是完全平方数，所以只有y=25,此时250099)，=25.于是X=30或20.故所求四位数为2025或3025.例6已知b24ac是一元二次方程ar2+bx+c=0(W0)的一个实数根，求ab的取值范围.(2004年全国初中数学联赛)基本思路以2+版+c=0可以变形为(2ax+b)2=b24ac.分解(2

5、0To+b)2=,得2vo+b=j,或2x0+匕=一衣(这里XO=-4c),从而得到-Sah=4ayJj,Wc1-Sab=+1j.解令XO=序一4ac是方程以2+fer+c=0的实根，则由4ac0得xoO,并且(2ax+b)=b2-4ac即(肛J+)*=,得(2ax0+b)-A(2练+加+=0,2ar0+b=E或2ax0+b=-yx,由2f1Xq+力=0,得1)(184?)=0,即I8=(4a*-1yK).由2ar()+b+=0得(44j+1)-(1-8Z?)=0,即1-Sab=4ayx+0.所以】一84bK),BPabr*(3*M=-J有两个不同4的实数根，求实数d的取值范围.(2008年全

6、国初中数学竞赛题)5 .已知关于X,y的方程5x2-3孙+gy2-2x+gy+J=o,求它的实数解.6 .已知三角形的三边长为“，b,c且方程(。-6*+23。比+。一8=0有两个相等的实数根，试判断此三角形的形状.7 .在AABC中，AB=AC=m,BC=n,求证：方程4x28田+/=0有两个不相等的实数根.8 .已知关于X的方程/-(2+1)+46一g)=0.(1)求证：无论左取什么实数值，这个方程总有实数根；(2)如果等腰三角形的一腰和底边长分别是这个方程的两个根，求实数k的取值范围.心智体操俄国著名生物学教授弗奥格瓦列夫在一次讲课时，有个家伙故意捣乱，突然学起了公鸡啼叫，顿时，引起哄堂

7、大笑.教授不动声色地看了一下自己的怀表，说：“我的这只表误时了，没想到现在已是凌晨.不过，同学们请相信我的话，公鸡报晓是低等动物的一种本能.”参考解答习题9I.厚0,且=(22+1)2-4F0,得&一，且后0.4-i)U.63 .=(2a)2=-a2-2a-=-(a+1)220,即(+1W0,所以。=-1.于是/。口一/012=(一1严21刈0.4 .由*(*.r)=-,得(+1*+(+1)x+4=0,依题意有,解得0,或4 4=(+1)2-(+1)O,，所以=64?2-4x4x2=6(2m+)(2m-)0.所以方程41一8a+2=0有两个不相等的实数根.8 .(1)因为=(2hH)F-4x4(Z-3=(2A-3)220.故无论左取什么实数值，此方程总有实数根.2(2)解方程得即=2,X2=Ik-.分类讨论：若腰长为2,则2210,且2+22%1,得_1左2,且2攵-10,即有&1.