06 二（多）元一次方程组的应用+孙涛录入.docx

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1、6二（多）元一次方程组的应用宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日月之繁，无处不用数学.华罗庚应用二（多）元一次方程组来解决实际问题时，首要的依然是多读题，善于用字母将题中对象及关系表示出来，进而利用等式基本性质简化所求问题的代数式（即二（多）元一次方程组），求得实际问题的结果.例1鸡兔共100只，鸡的脚比兔的脚多80只，问鸡与兔各多少只？（摘自孙子算经）基本思路利用鸡的只数与其脚数、兔的只数与其脚数之间的关系，列出方程组.解：设鸡有X只，兔有y只，则由题意知卜+y=1002x-4y=80解得I=RIy=20所以，鸡有80只，兔有20只.说明上述问题是鸡兔同笼问题，在小

2、学里运用假设法及算术知识处理与本题类似的问题.但是其处理的方式较之代数的解法（设未知数，列出方程组）来说较难（同学们可以再体会一下）.代数的方法具有统一性，各种各样的问题可以用同样的方法处理，而且复杂的应用题，特别是涉及多个对象及关系多重的应用题，往往只能用代数方法来处理.例2小王沿街匀速行走，发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车，每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车.假设每辆18路公交车行驶速度相同，而且18路公交车总站每隔固定时间发一辆车，那么发车间隔的时间是分钟.（2008年全国初中数学竞赛题）基本思路大胆用字母表示，令同向行驶的相邻两车的间距为S米，18路公交车和小王行走的速度分别

3、为My米/分.利用题设条件列出方程组.解：设18路公交车的速度是4米/分，小王行走的速度是），米/分，同向行驶的相邻两车的间距为S米.每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车，则6x-6y=s每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车，则3x+3y=s由，可得s=4x,所以上二4X答：18路公交车总站发车间隔的时间是4分钟.例3有四个正整数，其中任三个数的算术平均数与第四个数的和，分别等于29,23,21,17,则这四个数中最大的一个是.基本思路分别令四个数为Ky,z,列出四元一次方程组，解这个方程组.解：设四个数分别为Ky,z,则由题设知g(x+y+z)+ty=29g(x+y+t)+z=23x+z+y

4、)+y=21(yz+232117知道一32)，X，得tzyx,3333即。是最大数.于是，由x+y+z+y=45Jz)+2z解：设A、B、C三人原来各有兑y,Z粒糖，依题意可列出下表:4(x-j-z)=644y-2(x-y-z)-4z=644z-2(x-z)-2y+(x-y-z)+2z=64解得K=IO4y=56z=32答：原来甲有糖104粒，乙有糖56粒，丙有糖32粒.说明在解决实际问题时，需常想到列表或画一个示意图.这是可以简捷得到解题思路的良好方式.例6一个时钟有时针与分针但钟面上并没有数字.在早上T时刻，钟在镜子中的影像显现出早上X时刻，且X比T迟了5小时28分，问了时刻是早上几时几分

5、.基本思路首先知道在时钟上每小时时针移动30,将两个时刻的时间关系转化为圆上圆心角之间的关系，列出关于两个时刻时针所对应角度Q,尸的方程组，解出,之后，再对应到时刻T与X.解：由题设，两个时刻X与T之差为5小时28分，设（从12点处出发顺时针方向计算）X时刻时针对应的角度为0，7时刻时针对应的角度为夕，则在钟面上它们所对应的角度之差是30=164又因为它们之间的角度关系是+6=360,所以有方程组-0=640,解得360-164=98。,史=3日，所以对应的T时刻为3时16分.23015答：T是早上3时16分.例7一个十位数字为O的三位数，它恰好等于它的数字和的67倍；交换它的个位与百位数字后

6、得到一个新的三位数，它恰好又是数字和的加倍，求小的值.基本思路利用十进位制知识可设百位、个位上数字分别是K、），得出关于X、y的方程组，整体析出x+y,从而直接求得解：设原三位数的百位数字为X,个位数字为y,由题意得IOOX+y=67（x+y）IOOy+=H（x+y）上述两个方程相加得IOMX+y）=（67+切）（x+y）由x+yO得67+w=101/77=34答：加的值为34.例8有一片牧场，草每天都匀速地生长（草每天增长的量相等）.若在牧场上放牧24头牛，则6天吃完牧草；若放牧21头牛，则8天吃完牧草.设每头牛每天吃草的量都是相等的.问：（1）如果放牧16头牛，那么几天可以吃完牧草？（2）

7、要使牧草永远吃不完，至多放牧几头牛？基本思路本题是熟知的“牛吃草问题”.需考虑草每天的增长量y,每头牛每天的吃草量X,牧场原有的草量。和16头牛Z天吃草量或刃头牛吃草量之间的关系，逐步列出方程组.解：（1）设每头牛每天吃草量为X,草每天增长量为y,牧场原有的草量为。，16头牛Z天吃草量.根据题意得X0,y0,z0,且+6y=24X6x+8y=218xa+yz=16XZ一得y=12x一得(z-8)y=8x(2z-21)将代入得(z-8)X12=8x(2z-21)解得z=18（2）设放牧/头牛，牧草永远吃不完，则必须使头牛每天吃的草量不大于草每天的增长量，即Xy代入得x2x由x0知2所以至多放牧1

8、2头牛.答：若放牧16头牛，则18天可以吃完牧草；要使牧草永远吃不完，至多放牧12头牛.说明“问什么，设什么”，这是解决实际问题的基本要求，不是表述转化实际问题为代数问题的唯一目的要求，若这样，复杂问题中量与量关系就难以直接明白快捷地转化为数学问题了.因此，用较多字母表示出题中量与量之间关系，是处理实际问题的良好意识，需要学习者极力注重培养.例9现有含糖15%的糖水20克，含糖40%的糖水15克，另有足够多的糖和水，要配制成含糖20%的糖水30克.（1）试设计多种配制方案；（2）试对你的各种配制方案作一评价，哪一种用糖最省？哪一种现有糖水的浪费最少？基本思路溶液的配制方案可以是：只用糖与水；不

9、用含糖40%的糖水；不用含糖15%的糖水；两种糖水各用10克等.分别列出上面四种方案所对应的二元一次方程组，然后解方程组，并比较相应的量的大小.解：（1）因为有两种不同含糖量的糖水和足够多的糖和水供配制之用，于是可以有下面四种方案（还可有其他方案）：不用现有的糖水，只用糖和水.设用糖K克，用水y克，则X+y=3Q，解得产将含糖15%的糖水20克全用上，但不用含糖40%的糖水.设用糖X克，用水y克，则120+x+y=30卜=320x15%+x=30x20%Iy=7将含糖40%的糖水15克全用上，但不用含糖15%的糖水.由于含糖40%的糖水15克中有糖6克，而所要配制的含糖20%的糖水30克也有糖

10、6克，数量相等，所以只要用含糖40%的糖水15克再加水15克即可.用两种糖水各10克.设用糖X克，用水y克，则10+10+x+y=30fx=0.5解得1015%+1040%+x=30x20%(j=9.5（2）上述各种解法中，第种方法用糖最省（不用糖）.第、种方法与其他方法比较，现有糖水用得最多（浪费最少），有没有比现有糖水浪费更少的方法？理想的方法是30克糖水均由现有糖水构成，即不加糖和水.设用含量15%的糖水X克，含糖40%的糖水y克，则X+y=30Fx=24,解得x15%+y40%=3020%y=6但含糖15%的糖水总共才有20克（V24克），故此解答不切实际，由于缺少的4克15%的糖水中

11、的糖分可用40%的糖水补充，所以最省的方法应是只加水，不加糖.设用现有糖水共y克，其中含糖15%的糖水X克，加水。克，则x15%+（y-x）40%=3020%y+=30整理得y=3+15（0x20）,当x=20时，3大=27.5,此时=30-y=2.58即用15%的糖水20克，40%的糖水7.5克，加水2.5克，可使现有糖水浪费最少.习题61 .有若干只鸡和兔子同笼，它们共有88个头，244只脚，问鸡和兔各有多少只？2 .一项世博工程，由甲乙两个工程队合作7个月可以完成，现两队合作5个月后，甲队所有队员及乙队人数的!调整做其他工作，又过了6个月由剩下的人把工程完成.如果甲乙单独做，那么甲需要几个月，乙5需要几个月？3 .汽车以每小时72千米的速度在公路上行驶，开向寂静的山谷，驾驶员按一声喇叭，4秒后听到回响，这时汽车离山谷多远？（声音的速度以340米/秒计算）4 .有两种铁矿石，甲铁矿石含铁68%,乙铁矿石含铁63%,现要配制含铁65%的混合铁矿石100吨，两种铁矿石应各取多少吨？5 .小强问叔叔有多少岁，叔叔说：“我像你这么大时，你才4岁；你到我这么大时，我就40岁了.”问小强和叔叔今年各是多少岁？6 .一批货物准备运往某地，有甲、乙、丙三辆卡车可以租用.已知甲、乙、丙三辆车每次运货量一定，如