02 一元一次方程的求解+盛锦录入.docx

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1、2.一元一次方程的求解受过数学训练的人，应当比没有受过数学训练的人聪明一些，效率更高一些.单博(摘自解题研究第22页，上海教育出版社，2007年4月)让我们一起来玩列式游戏吧！将数2和3、字母X,用等号“=”及四则运算符号“+、一、x、”中一个连接起来，可以得到哪些式子？相信你可以写出很多个式子.由前一讲“与I”的理解，你可以将它们归为四类，一类式子是形如=x=4x=8这一类式子可以直接利用算术计算得X的结果；第二类式子形如第三类式子形如Or=C(aH0);第四类式子形如=c.对于式子x+b=c,可以用加法与减法互为逆运算来计算，若一个数加上数b等于数c,则这个数等于C减去6,即X=C当我们用

2、未知数X来认识等式x+b=。时，就称为一元一次方程x+b=c上述运算过程，又可以看作是将方程中的项人从等号的左边移至右边且改变符号，使含未知数X的项在等号的左边，已知数的式子在等号的右边.这个过程，在解方程中叫做移项，得=c+(-b),即方程x+Z?=C的解为X=C.对于“r=c,在00的条件下，利用乘除互逆运算关系得X=CX即从方程的角度可以将上述过程看作是方程两边同除以。(。工0),得x=(,即方程&v=c(w)的解为冗=(同样地，对于第四类式子q=c,先在两边同乘以修得。=CX,化为第三类式子从而求得X=0.XC至此我们会解方程公=C(QWO)和x+b=c了，如方程=；和x-3=1的解就

3、容易得到了，前者在方程两边同时除以2,后者把一3移到等号右边，则这两个方程的解分别为X=1,x=46再回首，多看一眼r=c,可以认识到r+O=c;多看一眼x+Z?=c,可以认识到1.x+8=c,据此，你自然想问若将“0换为得到形如+b=c的方程可以求解吗？例如，方程3x-5=4如何求解呢？必然地想到利用解形如方程ajc=c,x+h=c的基本解法.首先，将一5改变符号后，移至等号右边，得3%=4+5,即3x=9.其次在方程3x=9的两边同时除3.将x=3代入原方程，验算知等式成立.（这一步在解多项式方程时可以略去，但在解分式方程时需将求得结果代回到原方程验算等式是否成立.这一步骤又称为检验）.所

4、以，方程3x-5=4的解为x=3.因此，我们又会解方程0r+b=c（WO）了.尝试总结解方程办+Z?=C的步骤，并思考在解方程+b=ca0）时是否还可先两边同除a,然后再移项呢？例1解方程！+5=1.2解法1移项得1X=I-5,即工X=-4.22两边同除得X=（T）X2,即X=8.故原方程的解为X=-8.解法2方程两边同除1,得2x+52=1x2,即x+10=2,得移项元=210,即冗二一8.故原方程的解为4=-8.说明上述两个基本解法可根据实际选用.例2解方程3（x+2）-g（x-2）=4.基本思路例2的方程与例1相比要复杂得多，因为它需要通过代数式的运算（合并同类项）将其转化为形如0r+b

5、=c或以=C的形式.因此首先要化简.解方程可为3x32-x-2=4,33合并同类项，得（3-g）x+（3x2+；x2）=4,即1型=4,33两边通分，得8x+20=43,即8x+20=12移项得8x=8.两边同除8,得X=-I.故原方程的解为x=-1.说明通过解例2,你能总结出解类似于例2的较为更杂的方程的步骤吗？例3小明在解方程3。-2冗二15为未知数）时，误将-2x看作是+2x,得方程的解为x=3,试求出原方程的解.基本思路先按题设将方程改写为3+2x=15,然后利用方程的解的意义即尤=3使得等式成立,从而求得。.最后解题设中的方程.解由题设知方程3+2x=15的解为x=3,所以将x=3代

6、入方程得3a+23=15,即3+6=15.解这个关于。的一元一次方程，得=3.于是题中方程为9-2x=15.解这个方程得X=-3.故原方程的解为X=-3例4解方程基本思路别急，多读题.通常的做法是去括号，先去小括号再去中括号，运算较繁.但是,3 4你再读一遍，发觉可尝试先去中括号（因为2x工=1）,可以简捷简化方程式.4 3解题设方程可化为fna31X-6=-x+1,（24）2E13I1,得一Xx=1h1-6,224-x=7-,4故原方程的解为X=-71.4说明（1）请读者尝试按通常做法解此方程，并指出按通常做法处理较为复杂方程时的优点之处.（2）解方程的过程不必拘泥于一定将含未知数的项移至方

7、程式等号的左边.上述求解中，还可以将含未知数X的项1X移至等号右边，而数1移至左边，即-，-6-1=X.24例5解方程x+1+3=5.基本思路先移项3,再用绝对值的意义分情况讨论，注意舍去不合题设的彳（即增解）.解由方程k+1+3=5,得x+1=2.当x+1O时，有定一1,且x+1=2,得X=1当x+1VO时，有XV1,且x+1=-2,得x=-3.将x=1和X=-3代入原方程，知x=1和X=-3均为原方程的解.故原方程的解为X=-3,X=I习题2,7-(x+4)X+3a)1解方程：(1)0.5x=19.5;(2)-+=5x+19.0.50.1252解方程：z、x+22x-31(1)=1;(2)

8、2x+1x-121.3解方程:(1) 3(2x-3)-(3-2x)=7(3-2x)-y(2x-3);(2) Xx-9)=g(x-9).4解方程:(1) 2X-3=2342(1A(2) 一4x-4-2+49=0;45|_3(2JJJ(3) 32x-1-3(2x-1)+3=5.答案1. (1)x=39.提示：两边同乘2.O15-14x=(2)方程简化为2(x+3)+4)=5x+19,6(+3)+8(x+4)=15x+57,5057/=-7.2. (1)方程化为!一：犬=1一?一,X=O.(43J46(2)4x+23x+3=6x+5=6X=13. (1)可直接展开合并，但注意到各项中均有因式(陵一3

9、),用分配律可直接得到(3+；+7+；12工一3)=0注意到*(x9)=(x9),可简捷转化，得1*0,解得尸0.4. (1)2x-1=-,2-1=-1=-,分别解得x=2,或不=一,代人原方113333374程，均使原方程成立.故原方程的解为x=7或1=一-.33772(3)将Zr-1看作一个新变数A得3b-(3y+3)=5,3y=-7,y=-J2x-1=-,x=-.心智体操铅笔+橡皮=55万美金律蒲曼是美国佛罗里达州的一位画家，他一度穷得除了画具和一支短短的铅笔之外一无所有.由于绘画时需要用橡皮擦，往往要花费很大功夫才能找到橡皮擦，待把画面擦好后又找不到铅笔了.如果把橡皮擦用丝线扎在铅笔的另一端上不就解决了吗？实验之下，他发现这种方法仅仅能够凑合使用,没多久，橡皮擦又从笔端掉落下来.几经思考，他终于想出了一个好办法.他剪下一块薄铁皮片，把橡皮擦放在笔端，用铁皮片包起来，这样一来果然管用了.“说不定这玩意还能赚钱呢!”律蒲曼有了申请专利的念头.于是就找亲戚借钱申办手续.果不其然，当他将这项专利卖给铅笔公司时，他得到了55万美金.