07 三角形的内接三角形+詹纲键录入.docx

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1、三角形的内接三角形若点、E、尸分别在AABC的边8C、CA.48上，则称AOE尸为AABC的内接三角形.三角形的内接三角形有下列基本性质：性质1三角形三边中点构成的内接三角形常称为中位线三角形或中点三角形，中位线三角形与原三角形相似；其面积是原三角形面积的1;其重心与原三角形的重心重合.4性质2锐角三角形三条高线的垂足构成的三角形常称为垂足三角形.垂足三角形的内心是原三角形的垂心；其周长是该三角形的所有内接三角形周长中最短者.A事实上，如图71,设H为锐角ZXABC的垂心，。、E、产是三条高分别在BC、CA.AB上的垂足.由4中例2的结论（如果运用。、C、E、H,B、。、H、F及B、C、E、尸

2、分别四点共圆即得）有NEDH=ZFDH,即知Ho平分NEo尸.同理，HE平分/DEF,HF平分NDFE.故“为AOE尸的内心.D1图7-1作D点关于直线AC的对称点Q,则/CEG=/OEC=NbEA,从而。1在FE的延长线上（或F、E.i三点共线），且石拉I=ED同理，作。点关于直线AB的对称点。2,则。2与尸、E也共线，且尸n=Z7D此时，OE+E尸+尸。=Q1E+E产+尸D2=Z）Iz）2.若另有一内接aOPQ,点P在边AC上，点。在边AB上，P、。中至少有一个异于E、F,显然口P=DP,D2Q=DQ.此时。P+PQ+QO=QP+PQ+QQQi02,即DP+PQ+QDDE+EF+FD.若内

3、接三角形的三个顶点都异于垂足。、E、F,即为aABC的任一内接三角形，如图72.作。关于AC、AB的对称点。,I、D,2.连。、交AC于EO,连。72交A8于后，于是FD=FDiE,D,=E,D,.图72从而，尸的周长=尸力、+尸E+EOD2D,i=2EoFo.由于A、瓦、D尸O四点共圆，且以4。为直径，则知EoFo=AO，SinA.即有QEP的周长20sinA.同理可得&DEF的周长=2AOsinA.因aAOO为直角三角形，则知AA。，故知O夕尸的周长2AD,sinA2AD-sinA=DEF的周长.即ZXOEF的周长E/的周长.性质3三角形内切圆切三边的切点构成的三角形常称为切点三角形.切点

4、三角形的外心与原三角形的内心重合.性质4三角形aABC的任意内接三角形。石凡若。、E、尸分别在边8。、C4、AB上，且岩登=，箓=1,则SaDEF=+1(1+1)(+1)(+1)(7-1)事实上，如图73,由共角比例定理，有SABCAB.ACAF_iAE_1AB_+1EA+1,则SaFE4.SZC(4+)(4+)同理SBDF=SABc(4+1)(4+1)SCED=二(4+)(4+)SGDEF=SABCSAFE-SGBDF-SMED2222(4+)(4+)(4+)(4+)(4+)(4+1)4&+1c(A1)(1)(1)i,特别地，当点。与点8重合时，如图74,则由上述证明可得图7-4推论设、户分

5、别在AABC的边CA、AB上,EAFB(1) SdEFB=rSBC(4+)(4+)(2) SAAEF=Smbc;(+)()(3) SdBCE=-SABC+1(7-2)(7-3)(7-4)例1设A48C的面积为1,。是边AB上一点，且丝=J,若在边AC上取一点E,使四边形。ECB的AB3面积为3,则4的值为（）.4EA（2003年全国联赛题，同5中例6）A解选8.理由：由题设知SZXAOE=I,由丝=!知丝=!，设笠=4,则由式(73),4AB3BD2EA2有，=77*1，解得=411)3例2如图76,在aABC中，EF/BC,Saef=Sbce,若Samc=I,则S(；“等于().A.B.-C

6、.5-2D.3-452(2003年四川省竞赛题，同1中例2)解选C理由：连8尸，则由石尸8C,知SZJJCf=Szjjc,Sgcef=Sabef.令丝=a,则!=_!_.EBCF由式(7-3),有SMEF=1-Sgc=z,(M)M(S_1_由式(7-4),有SSBCF=3Suabc=116由SMEF=SABCE=SABCF，有=.(+1)2+1解得4=苴上1(舍去负值).2又由式(72),有布+1SCEF=SMFE=-T-SMBC=7SMBC=TV=小-2.(1)11仅+h产+31解如图77,设CB与KM.K1分别交于K、K2f8与/与M1.MK分别交于Mi、M2.连KM1、KI11、1iA1

7、i.令SCW2KI=S|S&M2MK=T1，SA1121=52，S121f1=72SAB1iCUA=S3,SK2K11=Ti.因且/空W旭=1MIM2KCBiC则C22,故S1WTi.同理，S2T2,S3T3.从而Si+S2+S3Wr1+B+乃.设G与AK1M公共部分面积为S,得SZkA8GS=$+S2+S3T+7+AWS.所以2S2SC1=，即S2148BC3jC4.aKB2c图7-7a.1M分别交于、1i,AiCi例3给定面积为1的ZXABC,点4、&、G分别是三条边8C、CA.AB的中点，如果点K、1、M分别在线段AB、CAhBC1,求44SG与aK1M的公共部分的可能的最小面积.(第8

8、届全俄奥林匹克颠)当线段K1、1M和MK之一与AABC的中线重合时，取到最小值.8习题71 .已知AABC的面积为S,作一条直线/BC,且与48、AC分别相交于。、E两点，记48石。的面积为R证明：R工S.（1989年“祖冲之”杯邀请赛题）42 .设AABC的面积S为1,试分别在边BC、C4、AB上各找一个内点。、E、F,使得。历的面积S适合1VSV（1988年江苏省竞赛题）433.在凸六边形ABCOE尸中，AB/ED,BC/FE,CD/AF.试证明：Smce=Sbdf.习题71 .设AZ)：8=m,则CE：EA=I:机，由式(72),有SBED=：5.MBC-SABC=S.(m+I)(-+1)2而马42 .设点。、E、F使吧=q=4,由式(71)及题设S=I,有S=0=与今，CDEAFB(4+1)3(2+I)2由v!解得J.VztV2且/IW1.因此，对适合,V2V2且aw1的任意4,分别取。、4(4+1)-322E、产使北=四=0=%,则aDE产的面积S适合1VSVFBCDEA433 .延长线段AB、C。、E尸的两端相交成ZXYZ设出.=zh,=2,=3,则=AYCZEXFZAY=2=2,=3,.由式(71)有2=&城=M4+,BXCZDYEXSaxyzSaxyz(/I1+1)(+1)(+1)故SACE=SdBDF