08 认识一元二次方程+孙涛录入.docx

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1、8认识一元二次方程横看成岭侧成峰，远近高低各不同，不识庐山真面目，只缘身在此山中.苏轼题西林壁在第7讲中，我们已经认识了一元二次方程2+法+c=o,自然地，我们也认识了（看二次项系数1,非“1”是。）一元二次方程的一般形式0?+bx+c=0,不仅如此，想必你也知道如何求这个方程的解了.那就是配方！因为ax2+bx+c=ab244所以方程Or2+公+。=0（。；60）转化为。卜+捺）+ac-b=Q则当从-4c0时，由平方根的意义就可以得到方程or?+加+c=0的解为K=M三W）这又叫做一元二次方程的求根公式.因此，求解具体的一元二次方程的解，就可以利用公式直接计算得到，即用公式来求解方程.这样，

2、我们解一元二次方程又有了一种方法，即公式法.但不论怎么说，配方法是解一元二次方程的基本方法.让我们对得到的式，再仔细瞧端详，“横看成岭侧成峰”：式形如x2=A（80）,反过来呢？即形如Ai的数是否一定是一元二次方程的根？回头“由下而上求索”上述一元二次方程的求解过程，容易发现x二Ai一定是一元二次方程的根，即有形如ax2+bx+C=O的等式成立.利用这一结果常常可以简化一些复杂的数值计算.例I已知是有理数，方程f+/nr+=O有一个根是有一2,求m+的值.基本思路将好-2代入方程中，整理出关于?，的等式，利用有理数与无理数的区别，转化问题为求9-2m+n=04C的解.ZM-4=0解:由题意，数

3、有-2必满足方程/+如+=0,则(6-2)+ny5-2j+=O即(9一2机+)+(机一4)后=0因为明是有理数，所以必有，一，：二,w-4=0解得FUn=-1于是m+n=3.说明如果/是方程小+b+c=O的根，那么就有ar。？+法+c=0.反之亦然.例2设a=币-1,则代数式3/+1加2-6一12的值为().(A)24(B)25(C)47+10(D)47+12(2011全国初中数学竞赛题)基本思路将。=近-1变形为。2=6-2，利用此等式简化题中代数式.解法1因为+1=77,a2=6-2at所以3/+I2a2-6-12=3(6-2a)+12(6-2)-6-12=-62-2a+60=-6(6-2

4、)-12a+60=24故选A.解法2由=7-1,得(1+)2=()/+加一6=0.即。=J71可以看作是一元二次方程X2+2x-6=0的一个根.3/+12/一6。-12-F是=3。(。2+2。-6)+6(。2+2。-6)+24=3a.0+6.0+24=24例3设C是实数，已知V3x+c=0的一个解的相反数是方程V+3x-c=0的一个解，求方程X1-3x+c=0的解.解：设%是方程x2-3x+c=0的一个解，则-瓦是方程X2+3X-C=O的解，即x0-3x0+c=0(TJ-3xo-c=O上述两式相减得2c=0,所以c=O.于是方程f-3x+c=0变为x2-3x=0,从而得此方程的解是X=O,a2

5、=3.例4已知6,C为方程V+bx+c=O的两个根，且c0,bc求b,c.基本思路将力，。代入方程得两个等式，简化变形为关于力的一元二次方程加2-。-1=0,求得力，从而由c=一6-1得C的值.解：因为A,C是方程f+版+c=0的两个根，所以b1+b2+c=0c2+be+c=0由c?+Z0+c=0即c0得c=-K-1,把它代入力2+h2+c=0得2加-b-=0.解得b=-或b=1.2当b=-1时，c=-b-1=-,则。=c,这与题意不符.22于是匕=1,c=-b-1=-2.例5解关于X的方程/(f-+1)-(/=一1)X基本思路整理方程为形如A+8t+C=0的形式，考虑A是否为0,进而分别求解

6、.解：整理方程，得(4-ajjC(2a2-1)x+(6r2+a)=0.若-=o,即。=0,1,则题中方程是一次方程，。=0时，X=0；=1时，x=2.若/-0,即0,1,则题中方程是一元二次方程，可以解得X=!,9=，_.aa-1例6已知三个关于X的一元二次方程ax2+bx+c=O,hx2+cx+a=0,cx1+ax+b=02/2恰有一个公共实数根，则2+生+二的值为()becaab(A)0(B)1(C)2(D)3基本思路将公共实数根与代入三个方程式得到关于,，c三个恒等式，经过变形(三式相加)得，+6+c=0.进而简化三+以+,得值.becaab解：设小是它们的个公共实数根，则C1Xq+C=

7、0,bx+cx0+=0,CX+OX0+b=0.把上面三个式子相加，并整理得(Zj+c)(x02+Xq+1)=0.因为毛2+X。+1=(/+g)+0,所以+b+c=O于是a2b2c2a3+by+c3H-+-=becaababca3+by-(a+byfabc-3ab(a+b)abc=3说明还可以利用公式03+c3-%加=（4+。+以/+从+。2一/一儿一的），得到结果.例7已知。，。为正整数，关于X的方程W-2奴+b=0的两个实数根为,x2,关于y的方程V+2y+h=0的两个实数根为,，为，且满足XJ-Wy2=2008.求b的最小值.（2008年全国初中数学竞赛题）基本思路用求根公式分别求出两个方

8、程的根并运算与乂-与必，分情形计算，得到符合题设条件的X1y-x2y2的结果为4J?-b=2008,从而推得ya2-b=2.得b的最小值.解:关于X的方程方-2at+6=0的根为Jo?一,关于y的方程丁+2y+力=0的根为-aJa2-b.设ya2-b=t,则，0.当=。+/,x2=a-t,yi=-a+t,y2=-a-t,得XJy1-X2/=。，不满足条件；当=4-，工2=。+，乂=一一Z，必=一。+Z时,得X1y1-X2%=，不满足条件.；当玉=一，X2=+f,yi=-a+tf%=一。一，时，得内乂-与必=4，不满足条件;当=+/,x2=a-t,y1=-a-t,必=一时，得Xj-X2必=，不满

9、足条件.于是有4w=2008,/=502.因为明人为正整数，所以-6为正整数，即/为整数.又f=垩为有理数，所以，为整数，且00.2由251为素数，ayja2-b=t,及=502,得=251t=2二502t=从而有a=502cr-6=1=251a2-b=4因此b=502?-1,或b=25F-4,从而知的最小值为25产-4,即62997.读点小史古人是如何解二次方程的呢？20世纪的考古工作发现,早在公元前1700年,居住在美索不达米亚的人们已经有了高度发展的数学文化，其中包括六十进位制和勾股定理的知识.他们知道勾股定理是在毕达哥拉斯以前一千年.他们已经有了解二次方程的办法.巴比伦人将二次方程的解

10、法化为一种正规形式，其正规形式是：“已知两数的和与积求此两数”.用现代的代数语言来叙述就是：已知两个数匕和c,满足y=c,x+y=b,求,y.巴比伦人用下述5个步骤来求这两个数：(1)取b的一半；(2)将此数平方；(3)从中再减去c；(4)对所得的结果开平方；(5)再加方的一半得出所求两数中的一数；从方中减去这个数得出另一数.例如，设y=c=15,x+y=b=S,求x,y.解：按上面的步骤有：(1) 4；(2)16；(3)1；(4)1；(5)x=5,y=3(或x=3,y=5).巴比伦人的正规形式，用现代语言来说就是一元二次方程.事实上，bx=(x+y)x=X2+xy=X2+coX2-bx+c=

11、0X是此二次方程的解，根据对称性，y也是此二次方程的解.但是，巴比伦人还不能把所有的二次方程都化为正规形式，因为在那个时代还没有负数的概念负数的概念只是在几个世纪以前才诞生.巴比伦人关于正规形式的五个步骤用近代的代数语言来叙述，就是它可以进一步化为我们更熟悉的形式：他们是如何推出这一公式的呢？我们现在无从知道，因为那么遥远的年代的遗存物太少了.习题81 .设人。是整数，当戈依次取1,3,6,11时，小明算得多项式/+法+c的值分别为3,5,21,93.经验证，只有一个结果是错误的，这个错误的结果是().(A)当X=I时，X2+bx+c=3(B)当X=3时，X2+bx+c=5(C)当X=6时，X

12、2+bx+c=2(D)当X=U时，X2+bx+c=932 .设关于“的一元二次方程I?+*-4=。的一个解是,求。的值.3 .设关于X的方程x2+5x+b=0的两个实数根为再，x2,且后-引=3,贝IJb=(2010年“时代杯”江苏省中学数学应用与创新邀请赛题)4 .己知=正-1,贝IJ24+7/_27-12的值等于.(2010年全国初中数学竞赛题)5 .方程Y+av+b=0与2+cr+d=0(wc)有相同的根,求.(2002年重庆市初中数学竞赛题)6 .已知方程f-7=0和f-6x-(k+1)=0,求使得这两个方程有公共根的所有&值，并求其所有公共根与所有相异根.7 .解关于X的方程4bx2-(a4+4)+3=0.8 .求证：方程(x-a)(x-o-8)=1有两个实数根，其中一个大于，另一个