04 元一次方程的应用+盛锦录入.docx

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1、4元一次方程的应用如果没有数学的帮助和介入，对于大自然的许多部分，我们既不能以足够的精细去阐明，也不能以足够的明晰去论证，还不能以足够的灵巧去应用.伽利略现在，你已经会解一元一次方程了.你能否运用一元一次方程知识来处理一些实际问题呢?事实上我们是可以的.因为处理实际问题时我们只要多读题，善于用字母表示出实际问题所涉及的对象和关系，并转化为一元一次方程就变得易于解决了.有时为了尽快的理解思路，需借助图表揭示实际问题中的关系，而迅捷地转化为一元次方程.从学习数学语言的角度看，处理实际问题就是需要我们会玩语言的“三角”转换，即实际文字语言、符号语言与图表语言之间的转化.让我们从现在起努玩“语言三角”

2、吧！例1某商店一种商品的进价降低了8%,而售价保持不变使得商店的利润率提提高十个百分点，问：原来的利润率是百分之几？基本思路慢读，逐句理解清楚.回顾“进价”，就是商店购进商品时的价格，可以大胆地尝试用字母表示，这里可以用。表示原来的进价，“进价降低了8%”就是现在的进价为4x(18%).“售价”就是实际销售的价格，“利润”是因销售商品而赚的钱，即利润=售价一进价，“利润率”就是利润与进价百分比值.用x%表示原来利润率，则原来的售价为“利润+进价”=X%+,于是由“售价保持不变，利润可使商店的利润率提高10%,;可得现在利润率为x%+10%,从而有x100%=x%+10%,而“售现进价价一现进价

3、”=(+x%)a(1-8%)所以就得到式子：+%-4x(1-8%)=a(1-8%)(%+10%),从而转化为含字母系数的一元一次方程了，求解此方程得结果.解设原来的进价为。元，原利润率为x%.由题设知原售价为(1+x%)。元，现在进价为(1一8%)。元，利润率为x%+10%=(x+10)%,而现在的售价仍为(1+%)%所以现在利润=(1+x%)a-(1-8%)。元，从而有(1xoo)a-(1-8%)=(1-8%)(x+10)%,可化为(1+x%)-(1-8%)=(1-8%)(x10)%,(100+x)-(100-8)=(100-8)(x+10)j,92X+8=(X10),100X=I5.解得答

4、：原来的利润率是15%.例2”妇人洗碗在河滨，路人问她客几人？答曰不知客数目，六十五碗自分明，二人共食一碗饭，三人共吃一碗羹，四人共肉无余数，请君细算客几人?”(摘自孙子算经)YY基本思路用X表示客人数，“二人共食一碗饭”知饭碗用了土只，“三人共吃一碗羹”知羹碗用了土23Y只，“四人共肉无余数知肉碗用了土只，共有碗65只，则易于列出等式.4解设客人有“人，则饭碗用了二只，葵碗用土只，肉碗用了2只.于是，根据题设得方程234XXX,e+-+-=65,234解得%=60.答：客人有60人.例310个人围成一个圆圈做游戏.游戏的规则是：每个人心里都想好一个数，并把自己想好的数如实地告诉他两旁的两个人

5、，然后每个人将他两旁的两个人告诉他的数的平均数报出来.若报出来的数如图41所示，则报3的人心里想的数是.(2009年全国初中数学竞赛题)11029384756图基本思路设报3的人心里想的数是X,报5的心里想的数是。那么报4的结果是。与1的平均数，/74-Y即1=4,得=42-x=8-x.这样就可以知道报5的人心里想的数为8工同样的道理，报27的人心里想的数是6x2(8-)=x+4报9的人心里想的数为8X2(x+4)=12x,报1的人心里想的数为2x10(12x)=x+8,报3的人心里想的数为2X2(x+8)=一%一4,而这等于x,得到方程解设报3的人心里想的数是%则报5的人心里想的数应是42-

6、X=8-%同理可知报7的人心里想的数是x+4,报9的人心里想的数是12心报1的人心里想的数是x+8,报3的人心里想的数是一4一小于是得X=-A-X例4如图，一个高为IOcm、半径为6c7的圆柱，以每分钟转一圈的速度旋转.一个宽为30的刷子从圆柱侧面的顶端以每分钟移动IC/的速度垂直向下移动.那么刷子刷过圆柱侧面50%的面积所花的时间是一分钟.(2011年“时代杯”江苏省中学数学应用与创新邀请赛题)基本思路刷子第一圈刷过的侧面展开图如图(2).圆柱侧面展开图为矩形，图柱高IOc机为矩形的宽，长为2兀x6=12Tr(CTn).第一圈刷子刷过侧面展开图为平行四边形ABC).第2圈刷子垂直向下移动1e

7、w,得到一个小平行边形带BC尸E其面积Ix2)x6=12万(cm.如此继续下去，每圈多刷出124C这样，设经过，分钟后刷子共刷过圆柱侧面的面积为3x12兀+(/-I)2t当它是圆柱侧面的50%时，就可以得到等式即方程.解设刷子经过，分钟刷过圆柱侧面50%的面积.圆柱侧面积为2x6x10=120乃(CAn2),圆柱侧面展开图中矩形的长为2万x6=12乃(c?)，宽为10cm.由题设知第圈刷过的面积为3x12万=36;T(Cm2),从第2圈开始每圈多刷2=2(cm2).于是有36+12(t-1)=50%X12()巴解得r=3.答：刷子刷过圆柱侧面50%的面积所花的时间3分钟.说明画一个草图如图(2

8、)用以发现面积增加的规律.这是便捷解决实际问题的有益建议.例5辆客车、一辆货车和一辆小轿车在-一条笔直的公路上朝同方向匀速行驶.在某一时刻，客车在前，小轿车在后，货车在客车与小轿车正中间.过了10分钟，小轿车追上了货车；又过了5分钟，小轿车追上了客车；再过f分钟，货车追上了客车，贝h=.(2010年全国初中数学竞赛题)基本思路解这些较复杂的题，建议大胆用字母表示若干对象及其之间的数量关系，并借助于直观图理清它们之间的关系.读第一遍，知道了题的基本意思.读第二遍大胆设之，逐句列式，“在某一时刻，客车与货车，货车与小轿车之间的距离S千米，小轿车、货车、客车的速度分别为小力，c千米/分，货车经过X分

9、钟后追上客车.“过了10分钟，小轿车追上了货车”可以列式为103-b)=s；又过了5分钟,小轿车追上了客车二表明小轿车用10+5=15(分钟)追上了客车，即(10+5)(-c)=2s;“货车经过X分钟追上客车唧Ma-C)=$.上述三个式子联立，消去小b,C后可以得到所求结果.解设在某一时刻，货车与客车、小轿车的距离均为S千米，小轿车、货车、客车的速度分别为啊a，b,C千米/分，并设货车经过X分钟追上客车，则由题意得10(-)=5,15(。-c)=2s,Xs-C)=a=s.由10(。一b)=s及15(-c)=2s得一C=,则b-c=(b-a)+(a-c)=.于是有151030sR=S,30得x=

10、30.所以r=3-i-5=15(分)例6队旅客乘坐汽车，要求每辆汽车的乘客人数相等，起初，每辆汽车乘了22人，结果剩下一人未上车；如果有一辆汽空车开走，那么所旅客正好能平均分乘到其他各车上.已知每辆汽车最多只能容纳32人，求起初有多少辆汽车?有多少名旅客？基本思路多读，大胆设元，转化为数学式子.设总人数为s,起初有X辆汽车，“起初每辆乘22人，结果剩下一人未上车”，得22X=S-1；”走开一辆空车，乘客正好平均分到车上“，得(X-I)Z=S,这里攵是为正整数；又“每辆车最多只能容纳32人”，即K32这样消去s,并结合-女为正整数且K32可得所求结果.解设起初有汽车X辆，开走一辆空车后平均每辆车

11、所乘的旅客为名.由题意知22+1=k(-1),x2,烂32,所以f22x+1C23k=22+.x-1X-I23因为左为正整数，所以为整数.而23为素数，那么11=I,或11=23,得尸2或x=24.x-1当x=2时，是=45不合题意；当X=24时，A=23合题意，这时旅客人数为女(-1)=529.答：起初有24辆汽车，529名旅客.习题41已知一个多边形的内角和等于其外角和的3倍，求此多边形的边数.209这10个数字每个恰用一次，组成若干个数，它们的和为100.问有多少种方法？3甲、乙两个机器人同时从起点出发，沿跑道匀速向终点行进，电子记录仪表明：当甲距离终点1米时，乙距离终点2米；当甲到达终

12、点时，乙距离终点1.O1米.那么，跑道的长度为_米.bDC（第5题）4旅行者从下午3时步行到晚上8时，他先走平路，然后上山，到达山顶后就按原路下山，再走平路返回出发点.若他走平路每小时行4千米，上山每小时行3千米，下山每小时行6千米，问旅行者一共行多少米？5如图为一个阶梯的纵截面，一只老鼠沿长方形的两边ATBTO的路线逃跑，一只猫同时沿阶梯（折线）AC-。的路线去捉，结果在距离点C15米的。处，猫捉住了老鼠.已知老鼠的速度是猫的四，问：阶梯ATe的长度是多少米？136游泳者在河中逆流而上所带水壶于桥A下被水冲走继续向前游了20分钟后他发现水壶遗失，于是立即返回，在桥4下游距桥A2千米的桥8下追

13、到水壶.求该河水流的速度.7梅林中学租用两辆小汽车（设速度相同）同时送1名带队老师及7名九年级的学生到县城参加数学竞赛，每辆限坐4人（不包括司机）,其中一辆小汽车在距离考场15h的地方出现故障，此时离截止进考场的时刻还有42分钟，这时唯一可利用的交通工具是另一辆小汽车，且这辆车的平均速度是60kh,人步行的速度是5kmh（上、下车时间忽略不计）.（1）若汽车送4人到达考场，然后再回到出故障处接其他人，请你通过计算说明他们能否在截止进考场的时刻前到达考场；（2）假如你是带队的老师，请你设计一种运送方案，使他们能在截止进考场的时刻前到达考场，并通过计算说明方案的可行性.答案1 .设边数为，得（-2

14、）180=3360o,即12=3x2,得=8.2 .易知组成的数至多是两位数.设组成的这些数日匀十位数字的和为/,则个位数字的和为45于是0f+（45-/）=100,解得尸史.9因此不可能组成满足条件的数，即共有0种方法.3 .设跑道的长度为Z米，甲、乙速度分别为9、%,则I1=忙！=_解得X=Io1V2X-2x-1.014 .设旅行者一共行X千米，山路长y千米，则他上山需2小时，下山需2小时，走平路回来用了36二3小时4依题意，有方程上+上+土包=8-3,解得x=20.所以旅行者一共行了20千米.3645 .猫在垂直方向走过的距离与老鼠相同，在水平方向上，猫比老Ia多走了Co的2倍.设猫的速

15、度为X米/秒,则老鼠的速度为吗米/秒.所以,猫抓住老鼠所用的时间为(1.5x21-竺x=U(秒)，13V13JX猫走过的距离是U*X=13(米)，阶梯AfC的长度是131.5=11.5(米).故阶梯AfC的长度是X11.5米.6 .设该河流水流的速度为每小时X千米,游泳者每小IMa千米,则游泳者自桥A逆流游了含(-%)千米到C处，在返回中用了12+型(-x)(+x)小时，比水壶在遗失后漂流时间2小时少20分钟,_60JX2+-(a-x)因此件60、?20120-20x+20a_120-20x6-x+a_6-x6-x+a_a+xa+xx60a+xx+xx6-xx1-=1+-,=-,因为。工0,所以x=6-r,得x=3.所以水流的速度是每小时3千米.6-xX6-xX7 .(1)3-(h)45(分钟)，因为4542,所以不能在截止进考场的时刻到达考场.604(2)方案1：先将4人用车