01 一次函数的图像与性质+郑梦前.docx

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1、一次函数的图像与性质函数）,=履+ZWo）称为一次函数，若方=0,则称为正比例函数.一次函数的图像是过（OS）、（-两点的直线.正比例函数y=（kWo）的图像则是过原点的一条直线.根据4和的符号，可以确定直线经过的象限，如下图所示.（1乂0且人0时ZvO且匕0时(2)女0且BvO时(3)%VO且匕0时(5)攵03=0时由一次函数的单调性可知，在一次函数了=+2,0）中，当k0时，y随X的增大而增大，即单调递增；当女0时，y随工的增大而减小，即单调递减；另外，正比例函数y=去伏#0）的图像关于原点O成中心对称.在解决有关一次函数的问题时，常运用分类讨论和数形结合的思想方法，对分类讨论，在解题过程

2、中，经常分40或&0等情况进行分步解决.而对于数形结合，一方面是由数定形，确定图像的大致位置；另一方面是由形导数，即从给定的函数图像上获得信息，确定图像上点的坐标及解析式.把一次函数解析式y=&+6的），移到右边，就得到一个关于小y的二元一次方程区-y+人=0,这时适合一次函数的一组x、y的值就是相应的二元一次方程的一组解.因此“一次函数”、“二元一次方程”、“直线”这三个名称有时在不至于引起混淆的情况下通用.例1把函数y=2x的图像向右平移3个单位，求：平移后得到的直线解析式；平移后的直线上到两坐标轴距离相等的点的坐标.解：因为直线y=2x向右平移了3个单位，则平移后经过点（3,0）.设所求

3、解析式为y=2x+b,将（3,0）代入，得6=-6.所以所求的直线解析式为y=2x-6.因为到两坐标轴的距离相等的点在直线y=x或y=T上，所以解方程组：y=2x-6或y=y=2x6,解得y=、=6或卜=2y=6y=-2所以在直线上到两坐标轴的距离相等的点为（6,6）和（2,-2）.例2己知左=+Y=-c=F+”+c,且+/+9=6.问关于自变量X的一次函数cbay=履+m+的图像一定经过哪几个象限？(黄冈初中数学竞赛)a+b-c=ck解：由题意得-b+c=原-a+b+c=ak三式相加得：(a+b+c)=k(a+b+当+b+cw时，k=1:当a+。+C=O时，k=2.又由Jm+5+1+9=6整

4、理得+5+(-3)2=0,所以相二一5,=3,贝J+=-2则一次函数为y=-2x-2或y=x-2,因此，该函数图像一定经过第三、第四象限.例3设Tx2,求-2卜J+k+2的最大值与最小值之差为多少？(江苏省数学竞赛题)分析因为X的取值范围为Tx2,所以x-2=2-x,x+2=x+2,而N不确定，故对X分类讨论.解：当-1x0时，得：原式=2-x+1+x+2=1+4,贝IJ最大值为4,最小值为3.5.22(2)当0W2时，得：原式=2-x-x+x+2=-x+4,贝IJ最大值为4,最小值为3.22所以，原式的最大值与最小值之差为1.例4设X是实数，求x+1+x+2+k+3+k+4+k+5的最小值.

5、(北京中学生数学竞赛)解：根据绝对值的几何意义，在数轴上画出7,-2,-3,-4,-5分别对应的点为A、B、C.。、E,设X对应动点P,则根据绝对值的几何意义，得：PA+PB+PC+PD+PECB+CD+CA+IC同=2+4=6因此，当工=-3时，取得最小值为6.评注本题也可以利用分段函数的图像求解，但相对来说运算繁琐.一般地，本题还可以推广为求IX-I1+x-2+x-3+卜WN)的最小值，则当为偶数2121gx4W+1时，取得最小值为土；当为奇数且X=铝时，取得最小值为巴二.22424例5如图1-2所示，在平面直角坐标系my中，多边形OABCQE的顶点坐标分别是O(0,0)、A(0,6)、8

6、(4,6)、C(4,4)、D(6,4)、E(6,0).若直线/经过点M(2,3),且将多边形。ABCDE分割成面积相等的两部分，则直线/函数表达式为.图1-2图1-3解：如图1-3,延长BC交X轴于点尸；连接04,AFi连接CE,OR且相交于点N.由已知得点M(2,3)是。8,A尸的中点，即点M是矩形48F。的中心，所以直线/把矩形AAPO分成面积相等的两部分.又因为点N(5,2)是矩形CQEr的中心，所以，过点N(5,2)的直线把矩形CDE产分成面积相等的两部分.于是，直线MN即为所求的直线/.设直线/的函数表达式为)，二履+。，2k+b=5k+b=2k=-1解得3b=-3故所求宜线/的函数

7、表达式为J=-x+y.例6.已知一次函数的图像经过点(2,2),它与两坐标轴所围成的三角形的面积等于1,求这个一次函数的解析式.解：设一次函数为y=+6,它的图像经过点(2,2),则点坐标满足函数关系式，得2Z+b=2.又因为直线与X轴交于点1上,。)与)，轴交于点(0,6),所以三角形的面积为：解得或4b=-2,.=1所以函数解析式为y=2x-2或y=?+1.例7甲、乙两车分别从A地将一批物品运往5地，再返回4地，如图,表示两车离月地的距离s(km)随时间(h)变化的图像，已知乙车到达8地后以30kmh的速度返回.根据图像中的数据回答：甲车出发多少时间后被乙车追上？甲车与乙车在距离4第多远处

8、迎面相遇？(3)甲车从A地返回的速度多大时，才能比乙车先到A地？图1-4解：由图知，可设甲车由4前往8地的函数解析式为s=h.将(2.4,48)代入，解得攵=20,所以s=20.V30由图可知，在距离4地30千米处乙车追上甲车，所以s=30千米时，/=1.52023即甲车出发1.5小时后被乙车追上.0=p+m(30=.5p+m(2)由图知，可设乙车由4地前往8地的函数解析式为S=Pf+，将(1,0)和(1.5z30)代入得：I/?=60,解得60所以S=60-60当乙车到达8地时，s=48km,代入s=60f-60,得Z.8小时.又设乙车返回4地的函数解析式为s=-30f+，将(1.8,48)

9、代入得：48=30x1.8+，解得=102,所以s=-30+102,当甲车与乙车迎面相遇时，有-30f+102=20/,解得/=2.04小时，代入s=20,得s=40.8千米.即甲车与乙车在距离A地40.8千米处迎面相遇.当乙车返回A地时，有-30f+102=0,解得/=3.4小时.甲车要比乙车先回到A地，速度应大于目=48(千米/小时).例8已知x、y、Z都不小于0,满足3y+2z=3-x及3y+z=4-3x,求函数=3x-2y+4z的最大值和最小值.解：由题意得xN0,y0,z0因为要使yo,zo,则可求得gO）与双曲线y=40）在第一象限的一支分别交于A、8两点,与坐标X轴交于C、。两点

10、，P是双曲线上的点，且Po=PD试用火、b来表示C、。两点的坐标；若aPOQ的面积等于1,试求双曲线在第一象限的一支函数解析式.在第小题的结论下，若=4,求的面积.解：由已知得。点坐标为（O,b）,。点坐标为（40）.k又因为Po=PO,P点在双曲线y=上，X所以P点的坐标为目引.12k（2）因为2zW=1,即zW=q-r=1,故=1,2b所以所求函数解析式为y=（）X由题意得y=-+41y=-x=2-3y=2+y/3X解得x=2+31或，y=2-3即交点坐标为(2-3,23),42+62-6),所以40=aodsbod=4(2+73)-4(2-3)=473例10设。是整数，关于X的方程k-1

11、|-2|二只有三个不同的整数解，求这三个解.解：先作出k-的图像，然后向下平移2个单位，得到k-2的图像，再把.I轴下方的图像关于X轴翻上去，便得到y=k-卜2|的图像，如图16图1-6要使得方程只有三个不同的整数解，只有当。=2时成立,即原方程三个整数解分别为：x=-3,x=1,x=5评注本题也可以分区间把函数了二卜-1卜2|改写成分段函数，再通过分类讨论来解，但有一定的运算量.例11已知曲线有方程k-+Iy-II=I确定.判别曲线所围成的图像的形状；求所围成的图形的面积.解：根据题意，当x1且y1时，Wx-1+y-1=1,即y=-x+3;当x1且v1时，Wx-1+1-y=1,py=x-i当

12、XVI且21时，W1-+y-1=1,即y=x+1;当XV1且yv1时，1-+1-y=1,BPy=-x1j图1-7所以，由方程k-1+y-1=1确定的曲线所围成的图像如图1-7所示，构成四边形ABCD要求四边形的面积，关键判定四边形的形状，如图1-7,设直线y=-x+3和y=x+1交于A,则Fy=x+3A点坐标满足1,从而求出A点坐标为（1,2）y=%+1同理可求得B(2,1),C(1,0),D(0,1).因为AD=7(1-O)2+(2-1)2=0,AB=CD=CB=应,且BD=I,所以AZ)2+AB2=DB2.所以四边形ABC。为正方形，面积为S正方琢sc”=2.评注：从本题可以看出，我们再处

13、理有关一次绝对值问题的时候，基本的方法是：（1）分缺件讨论，把绝对值去掉，然后再分步解决；（2）通过数形结合，画出函数图像，往往对解题起到事半功倍的效果.例12如图1-8,直线y=2x+Mw0）与X轴交于点A,直线y=-工+以0）与X轴、），轴交于点B、D,并与直线y=2x+相交于点C,若48=4,四边形CAO。的面积为与，求明、的值.分析：要求加、两个值，关键找两个关于相、的方程，一个利用人庆4,另一个方程利用四边形。QCA的面积为与这个条件.解直线y=2x+帆与X轴的交点4,导0）,直线），=x+与K轴的交点8（,0）,与），轴的交点。（0,则A8=+；=4,_一7V=2x+工-3解方程组

14、，得I,y=-x+m+2nV=3Cr-4,(n-nm+2n即C点坐标为(三一,yj因为S四切形ODCA=SMCBDoB=gX4X-1化简整理得32-8-4i+20=0,=4图1-8联立，解得r例13函数y=-x+1的图像与X轴、y轴分别交于A、8两点，C点在第一象限内，且4ABC是等腰直角三角形，NBAU90,有一点尸(叫使和aABC的面积相等，求。的值.分析：如图19,根据题意，要使aABP和AABC的面积相等，点P应在平行于直线A8,且距离等于AC的两条平行线上，所以本题关键是求出这两条宜线方程.解易知点A坐标为(6,0),点8坐标为(0,1),故AC=2.设直线且/到AB的距离都等于Ac过B作_1于尸点.直线右交)，轴于E点.易知：NEBF=30,BF=2,所以BE=拽，则直线儿。的方程分别为：23,41314