2023-2024学年北师大版选择性必修第一册 第六章 4-1 第2课时 二项分布的综合应用 学案.docx

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1、第2课时二项分布的综合应用学习目标1.掌握二项分布的均值与方差公式2能利用二项分布解决一些简单的实际问题.【导语】二项分布中比较大时，比如=50,IOO时，其分布列较难列出，其均值、方差计算更难算,今天我们就来研究二项分布的均值、方差的计算公式.一、二项分布的均值与方差问题若随机变量X服从二项分布8(，)，那么X的均值和方差各是什么？提示当=1时，X服从两点分布，分布列为X01P1pPEX=p,DX=p(-p).当#1时，二项分布的分布列为X01knPc0,c,x=p(1-p);若X服从二项分布，即X3(%)，则EX=np,DX=np(p).2跟踪训练1设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之

2、前到校的概率均为早假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.(1)用X表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量X的分布列、均值和方差；(2)设M为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件M发生的概率.解(1)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7：30之前到校的概率均为2y故X3,|)，从而P(X=A)=C左=0,23所以随机变量X的分布列为XO123P127298272212陵机变量X的均值EX=3Xy=2,方差。X=3X1X1=g.(2)设乙同学上学期间的三天中7：3

3、0之前到校的天数为丫，则YB(3,|),且M=X=3,y=1UX=2,Y=0.由题意知事件x=3,y=i与x=2,丫=0互斥，且事件x=3与y=i,事件x=2与y=0均相互独立，从而由(1)知P(M)=P(x=3,r=i)ux=2,y=0)=P(X=3,y=1)+P(X=2,F=O)Q0/11CA=P(X=3)P(r=1)P(X=2)(r=0)=279927=243二、由二项分布的均值与方差求参数值Q例2(1)已知随机变量X服从二项分布，即X8(，)，且EX=2,OX=亍则二项分布的参数，的值为()A.=4,P=2B.=6,P=；C.=8,p=(D.=10,7=答案D解析随机变量X服从二项分布

4、，即XB(n,p),Q且EX=2,DX=0Q1可得叩=2,叩(I-P)=子解得p=,=10.(2)已知随机变量f8(12,p),且E(2j-3)=5,则53。等于()QA.1B8C.12D.24答案D解析因为E(21f-3)=2优-3=2X12p-3=5,故/X3a=3f=912-j=24.反思感悟(1)如果。8(，p),则用公式Ej=即，OE=叩(I-P)求解，可大大减少计算量.(2)有些随机变量虽不服从二项分布，但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布，这时，可以综合应用E(琥+b)=aE4+b以及优=叩求出E(琥+b),同样还可求出D(a+b).跟踪训练2为防止风沙危害，某地决定建设

5、防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物.某人一次种植了株沙柳，各株沙柳的成活与否是相互独立的，成活率为p,设X为成活沙柳的株数，且EX=3,诟J=乎.(1)求和P的值，并写出X的分布列；(2)若有3株或3株以上的沙柳未成活，则需要补种，求需要补种沙柳的概率.解由题意知，XB(,P)，P(X=k)=C(1-p)z*r,Z=0,1,由EX=叩=3,OX=*p)=(乎得-=*则p=w=6.X的分布列为X0123456P16433215645161564332164(2)记“需要补种沙柳”为事件A,1315521则P(A)=P(XW3)=/交+正+石=Q21所以需要补种沙柳的概率为号.三、二项分布的实际应用

6、例3已知一批豌豆种子的发芽率为0.9,假设每颗种子是否发芽相互独立.(1)设10颗豌豆种子播种后发芽的种子数为X,求X=8的概率及X的均值(结果精确到0.1)；(2)试问每穴至少要播种几颗种子，才能确保每穴至少有1颗发芽的概率不低于0.999?附：0.980.430.解(1)依题意得X8(10,0.9),则P(X=8)=Cfo0.98(1-0.9)2=0.450.980.450.430=0.19350.2,EX=IOXO.9=9.(2)设每穴至少要播种颗种子，才能确保每穴至少有1颗发芽的概率不低于0.999,则I-(I-0.9)=1-0.T20.999,则0.1rt0.001,解得23,故每穴

7、至少要播种3颗种子，才能确保每穴至少有1颗发芽的概率不低于0.999.反思感悟二项分布的实际应用问题的求解步骤(1)根据题意设出随机变量.(2)分析随机变量服从二项分布.(3)求出参数和的值.(4)根据二项分布的均值、方差的计算公式求解.跟踪训练3一名学生每天骑自行车上学，从家到学校的途中有5个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是今(1)求这名学生在途中遇到红灯的次数。的均值；(2)求这名学生在首次遇到红灯或到达目的地停车前经过的路口数的分布列；(3)求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率.解(1)方法一由4电，g,则Pa=Q=G()5A=OJ23,4,5.即P(=

8、O)=3()o()5=1)=Ci()=依=2)=CgXg)2X=弱W=3)=C5g)xg)2=4)=ct)=P(=5)=g)=故。的分布列为012345P32243802438024340243102431243.,.E=O-+xJ1+2xJ1+3x40.Jp.+5X_1_5“243十“243十”243十4043十$2433,方法二丁5,号，优=.(2)的分布列为P(=k)=P(前&个是绿灯，第2+1个是红灯)=停X/2=0,1,234,5,即P=O)=(o=;212P0=1)=gXg=;P=2)=g)2=;P=3)=(D3=P(1=电于搞P(=5)=P(5个均为绿灯)=0=器.故的分布列为0

9、12345P13294278811624332243(3)所求概率为尸仁21)=1-PQ=O)-12Y2T-243课堂小结1 .知识清单：(1)二项分布的均值、方差.(2)二项分布的性质.2 .方法归纳：公式法.3 .常见误区：判断随机变量X是否服从二项分布.随堂演练1.(多选)下列关于随机变量及其分布列的说法正确的是()A.抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量B.某人射击时命中的概率为0.5,此人射击三次命中的次数X服从两点分布C.离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1D.离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的答案AD解析对于选项A,抛掷均匀硬币一次，

10、出现正面的次数可能是0,也可能是1,故是随机变量，故选项A正确；对于选项B,某人射击时命中的概率为0.5,此人射击三次是3重伯努利试验，命中的次数X服从二项分布B(3,0.5),而不是两点分布，故选项B错误；对于选项C,离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和一定等于1,故选项C错误；对于选项D,由互斥事件的定义可知选项D正确.2 .同时抛掷两枚质地均匀的硬币10次，设两枚硬币同时出现反面的次数为X,则OX等于()A.B.-C.D.5答案A解析抛掷两枚均匀硬币，两枚硬币都出现反面的概率为P=TXT=/则易知X8(10,3，故OX=IOx(x(1-：)=竽.3 .已知随机变量4+7=8,若。8(10,0.4),则E”，分别是()A.4和2.4B.2和2.4C.6和2.4D.4和5.6答案A解析:C8(10,0.4),Ef=100.4=4,Qf=10X0.4X0.6=2.4,*z=8-6；E=E(8=4,D=D(S-)=2A.4.同时抛掷5枚均匀的硬币80次，设5枚硬币正好出现2枚正面向上，3枚反面向上的次数为X,则X的均值是()A.20B.30C.25D.40答案C解析抛掷一次硬币正好出现2枚正面向上，3枚反面向上的概率为拿=高所以X80,劫，故X=80%=25.