2023-2024学年北师大版选择性必修第一册 第六章 4-1 第1课时 二项分布 学案.docx

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1、第六章概率4二项分布与超几何分布4.1二项分布第1课时二项分布学习目标1.理解重伯努利试验的概念.2.掌握二项分布.3.能利用重伯努利试验及二项分布解决一些简单的实际问题.【导语】某学生走在大街上，看见路旁有一群人，他挤进去，见一块木牌上写着：只需投掷二十次，便可拥有双倍财富（恰好10次正面朝上者中奖），他一阵窃喜：数学老师刚讲过，投硬币时，正面朝上和正面朝下为等可能事件，概率均为:，20X不就是10吗？这简直是必然事件嘛!于是走上前去，将仅有的30元押在桌上.那么这个学生的运气如何呢？通过学习本节课的内容我们就可以知道了.一、重伯努利试验发生的概率问题1在体育课上，某同学做投篮训练，他连续投

2、篮3次，每次投篮的命中率都是0.8,用X表示3次投篮投中的次数.若把每一次投篮看成做了一次试验，则每次试验有几种可能的结果？提示有2种结果：投中（成功）与未投中（失败）.问题2X=A（k=0,1,2,3）表示何意义？求P（X=2）.提示X=女表示3次投篮中有4次投中，有G种情况：当k=2时，每种情况发生的可能性为0.82X0.2,所以P（X=2）=C3XO.82XO.2.【知识梳理】1. 一般地，在相同条件下重复做次伯努利试验，且每次试验的结果都不受其他试验结果的影响,称这样的次独立重复试验为重伯努利试验.2. 一般地，在重伯努利试验中，用X表示这次试验中成功的次数，且每次成功的概率均为p，则

3、X的分布列可以表示为P（X=Q=C；梦（1一尸=02，干）.若一个随机变量X的分布列如上所述，称X服从参数为小的二项分布，简记为XB5,I2k-3.两点分布是二项分布在丘1时的特殊情况.注意点：重伯努利试验的特点(1)每次试验只有两个相互对立的结果，可以分别称为“成功”和“失败”.且某一事件发生的概率都相等.(2)各次试验是相互独立的.例1某气象站天气预报的准确率为80%,计算(结果保留到小数点后面第2位)：(1) “5次预报中恰有2次准确”的概率；(2) “5次预报中至少有2次准确”的概率.解(1)记“预报一次准确”为事件A,则P(A)=O.8,5次预报相当于5重伯努利试验.“恰有2次准确”

4、的概率为P=C1X0.82X0.23=0.05120.05,因此“5次预报中恰有2次准确”的概率约为0.05.(3) ”5次预报中至少有2次准确”的对立事件为“5次预报全部不准确或只有1次准确”.其概率为尸=CxO.25+C40.80.24=0.00672.所以所求概率为I-P=I-0.0067220.99.所以“5次预报中至少有2次准确”的概率约为0.99.反思感悟重伯努利试脸概率求解的关注点(1)解此类题常用到互斥事件概率加法公式，相互独立事件概率乘法公式及对立事件的概率公式.(2)运用重伯努利试验的t率公式求概率时，首先判断问题中涉及的试验是否为重伯努利试验，判断时注意各次试验之间是相互

5、独立的，并且每次试验的结果只有两种(即要么发生，要么不发生)，在任何一次试脸中某一事件发生的概率都相等，然后用相关公式求概率.2跟踪训练1某篮球运动员在训练过程中，每次从罚球线罚球的命中率是金且每次罚球的结果相互独立.已知该名篮球运动员连续4次从罚球线罚球.(1)求他第1次罚球不中，后3次罚球都中的概率；(2)求他4次罚球恰好命中3次的概率.解(1)设该篮球运动员第1次罚球不中，后3次罚球都中为事件A,第i(i=1,2,3,4)次罚球命中为事件Bh则A=B由诩心,因为每次罚球的结果相互独立，所以所求的概率为IOOOOP(A)=P(BI)P(B2)P(&)P(&)=XgXX?=所.因为该名篮球运

6、动员4次罚球恰好命中的次数X是一个随机变量，则X小，|),所以所求的概率为P(X=3)=Ci(y=.二、对二项分布的理解例2下列随机变量X服从二项分布吗？如果服从二项分布，其参数各是什么？(1)抛掷枚相同的骰子，X为出现“1点”的骰子数；(2)个新生婴儿，X为男婴的个数；(3)某产品的次品率为p,X为个产品中的次品数；(4)女性患色盲的概率为0.25%,X为任取M个女性中患色盲的人数.解(I)XB(，。X询，；).(3)XB(，p).(4)X85,0.25%).反思感悟判断随机变量X是否服从二项分布的方法(1)要看该试验是不是在相同的条件下可以重复进行.(2)每次试验相互独立,互不影响.跟踪训

7、练2下列随机变量X服从二项分布吗？(1)依次投掷四枚质地不同的硬币，X为正面向上的次数；(2)某人射击，击中目标的概率是稳定的，他连续射击了10次，X为击中的次数；(3)口袋中装有5个白球，3个红球，2个黑球，依次从中抽取5个球，X为抽出白球的个数.解(1)由于试验的条件不同(质地不同)，因此不是重伯努利试验.X不服从二项分布.(2)某人射击且击中目标的概率是稳定的，因此是重伯努利试验.X服从二项分布.(3)每次抽取，试验的结果有三种不同的颜色，且每种颜色出现的可能性不相等，因此X不服从二项分布.三、二项分布的简单应用例3高二(1)班的一个研究性学习小组在网上查知，某珍稀植物种子在一定条件下发

8、芽成功的概率为1,该研究性学习小组又分成两个小组进行验证性试验.(1)第一小组做了5次这种植物种子的发芽试验(每次均种下一粒种子)，求他们的试验中至少有3次发芽成功的概率；(2)第二小组做了若干次发芽试验(每次均种下一粒种子)，如果在一次试验中种子发芽成功就停止试验，否则将继续进行下次试验，直到种子发芽成功为止，但试验的次数最多不超过5次，求第二小组所做种子发芽试验的次数。的分布列.解(1)至少有3次发芽成功，即有3次、4次、5次发芽成功.设5次试验中种子发芽成功的次数为随机变量X.则股=3)=陟修)2=器,P(x=4)=g=Pg)”X(Mg=所以至少有3次发芽成功的概率为P=P(X=3)+P

9、(X=4)+P(X=5)_40101_17-243+243+243-8T,(2)随机变量4的可能取值为123,4,5.p(e=i)=,w=3)=(f)2=218%=4)=03X十所,P(=5)=(j1=.所以4的分布列为12345P132942788?1681反思感悟利用二项分布求解“至多”“至少”“否定性”问题的概率，其实质是求在某一范围内的概率，一般转化为几个互斥事件发生的概率的和，或者利用对立事件求概率.跟踪训练3某一中学生心理咨询中心服务电话接通率为本某班3名同学商定明天分别就同一问题询问该服务中心.且每人只拨打一次，求他们中成功咨询的人数X的分布列.P(X=期=CX(1X()3-，2

10、=0,1，2,3,即P(X=O)=CSXG)XG=吉；P(X=I)=CMXa2=卷X=2)=Cj(J2=g;P(=3)=CXG)X的分布列为X0123P16496427642764课堂小结1 .知识清单：(1)重伯努利试验的概念.(2)二项分布的概念及表示.2 .方法归纳：数学建模.3 .常见误区：二项分布的判断错误.随堂演练1.若100件产品中有5件次品，从中有放回地抽取10件，其中次品数x8(,p),则有()A.W=5,=0.05B.77=10,p=0.05C.=5,p=0.95D.71=10,p=0.95答案B解析任取一件产品的次品率为0.05,有放回地抽取10件，相当于做了10重伯努利

11、试验，取出“次品”即试验成功，故X8(10,0.05).2 .某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率那么播下3粒种子恰有2粒发芽的概率是12481696aT25b_1Bc725d725答案B解析播下3粒种子恰有2粒发芽的概率为=3 .在4重伯努利试验中，随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生2次的概率,则事件A在1次试验中发生的概率p的取值范围是()A.0.4,1)B.(0,0.4C.(0,0.6D.0.6,1)答案A解析由题意知C1p(1-p)3C2(1-p)2,解得p20.4,又0p1,故O.4K1.4 .设X8(2,p),若P(Xei)J则P=.答案3解析因为X8(2,p),所以P(X=k)=C(1-p)2r,A=O12所以P(XNI)=I-P(X=O)=1Co(1p)2=1-(1p)2.所以1(1p)2=,结合0p1,解得P=T