2023-2024学年北师大版选择性必修第一册 第三章 1-1 点在空间直角坐标系中的坐标 学案.docx

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1、1.1点在空间直角坐标系中的坐标学习目标1了解空间直角坐标系.2.能在空间直角坐标系中写出所给定点的坐标.【导语】我国著名数学家吴文俊先生在数学教育现代化问题中指出：“数学研究数量关系与空间形式，简单讲就是形与数，欧儿里得几何体系的特点是排除了数量关系，对于研究空间形式,你要真正的腾飞，不通过数量关系，我想不出有什么好的办法吴文俊先生明确地指出中学几何的“腾飞”是“数量化”，也就是坐标系的引入，使得几何问题“代数化”，为了使得空间几何“代数化”，因此我们引入了坐标及其运算.一、空间直角坐标系问题1在数轴上确定点的位置需要几个实数？在平面直角坐标系中确定个点的位置需要几个实数？提示在数轴上，个实

2、数确定一个点的位置；在平面直角坐标系中，需要一个有序实数对），）才能确定一个点的位置.【知识梳理】空间直角坐标系：过空间任意一点0,作三条两两垂直的直线，并以点。为原点，在三条直线上分别建立数轴：建、，轴和Z轴,这样就建立了一个空间直角坐标系止皿.点。叫作坐标原点，X轴（横轴）、y轴（纵轴）、Z轴（竖轴）叫作坐标轴，通过每两条坐标轴的平面叫作坐标平面，分别称为1平面，VOZ平面,ZQr平面.注意点：画空间直角坐标系O一型时，一般使NXQy=I35。（或45。），NyoZ=90。，三个坐标平面把空间分成八个部分.（2）将A轴和），轴放在水平面上.（3）x轴的正半轴逆时针旋转90。与y轴正半轴重合

3、.（4）建立的坐标系一般为右手系.二、点在空间直角坐标系中的坐标问题2如果点尸是空间直角坐标系O-XyZ中的任意一点，那么如何刻画它的位置呢？提示类比平面上点的坐标的确定方式，可以先作出点P在三条坐标轴上的投影，再根据投影在坐标轴上的坐标写出表示点P位置的三元有序实数组即可.如图，当点P不在任何坐标平面上时，过点P分别作垂直于X轴、y轴和Z轴的平面，依次交X轴、y轴和Z轴于点A、点8和点C,则点A,B,C分别是点尸在X轴、y轴和Z轴上的投影.设点A在X轴上、点5在)，轴上、点C在Z轴上的坐标依次为,b,c,那么点P就对应唯一的三元有序实数组3,b,c).【知识梳理】空间中点的坐标在空间直角坐标

4、系中，对于空间任意一点P,都可以用雎二的一个三元有序实数组(X,y,z)来表示；反之，对于任意给定的一个三元有序实数组(%,y,z),都可以确定空间中的一个点P这样，在空间直角坐标系中，任意一点P与三元有序实数组y,Z)之间，就建立了一一对应的关系：P(x,y,z).三元有序实数组Ct,y,z)叫作点尸在此空间直角坐标系中的坐标，记作P(x,y,z),其中X叫作点尸的横坐标，1叫作点P的纵坐标，Z叫作点P的竖坐标.注意点：(1)过点P作垂直于坐标轴的平面，与三条坐标轴分别交于点A、点8和点C实际上就是作点P在各条坐标轴上的投影，即从点P向坐标轴引垂线，垂足分别为点4,B,C.设点A,B,C的坐

5、标分别为0,0,0),(0,F0),(0,0,Z),则点P的坐标为(x,ytz).(2)点的位置X轴上y轴上Z轴上坐标的形式,o,o)(0,y,0)(0,0,z)点的位置XOy平面内WZ平面内Zor平面内坐标的形式(%,y,0)(0,yfZ)(x,0z)例1(1)画一个正方体ABCO4BIGo若以A为坐标原点，以棱A8,AD,A所在的直线分别为X轴、y轴、Z轴，取正方体的棱长为单位长度，建立空间直角坐标系，则顶点A,G的坐标分别为:棱GC中点的坐标为：正方形AAiB1B对角线的交点的坐标为.答案(OQo),(0,1,1)(1，1，0&0,)(2)已知正四棱锥PA8CO的底面边长为4,侧棱长为1

6、0,试建立适当的空间直角坐标系,写出各顶点的坐标.解正四棱锥pABCO的底面边长为4,侧棱长为10, 正四棱锥的高为255.以正四棱锥的底面中心。为原点，平行于BCAB的直线分别为工轴、y轴，垂直于平面ABCQ的直线为Z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则正四棱锥各顶点的坐标分别为A(2,-2,0),BQ,2,0).C(-2,2,0),。(一2,-2,0),/(0,0,223).答案不唯一.反思感悟(1)建立空间直角坐标系的原则让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内.充分利用几何图形的对称性.(2)求某点M的坐标的方法垂线法：向坐标轴或坐标平面作垂线.注意坐标符号.公式法：利用中点坐标公式、重

7、心坐标公式求出坐标.方程(组)法：利用向量平行或相等关系设出所求点的坐标，建立方程组.作MM垂直于Xoy平面，垂足为M,求M的横坐标x,纵坐标y,即点M的横坐标x,纵坐标)，再求M点在Z轴上投影的竖坐标z,即为M点的竖坐标z,于是得到M点的坐标(%,ytz).跟踪训练1设正四棱锥SP1P2P3P4的所有棱长均为2,建立适当的空间直角坐标系，求各个顶点的坐标.解如图所示，以底面正方形的中心。为原点，平行于PP2,PP4的直线分别为X轴、y轴，垂直于底面P1P2P3P4的直线为Z轴，建立空间直角坐标系，其中点S在Z轴上. PiP2=2,且B,P2,P3,2均在XQy平面内，.P(1,1,O),P2

8、(-1,1,0).同理可得尸3(1,-1,0),F4(1,-1,0).又ISpII=2,IoPII=也， 在RtaSOPi中，SO=2,S(0,0,2).(答案不唯一，也可选择其他的点建系)三、空间点的对称问题例2在空间直角坐标系中，已知点P(2,1,4).求点P关于X轴对称的点P1的坐标；求点P关于Xoy平面对称的点P2的坐标；(3)求点P关于点M(2,-1,4)对称的点P3的坐标.解(1)由于点P关于X轴对称后，它在X轴上的坐标不变，在)，轴、Z轴上的坐标变为原来的相反数，所以对称点坐标为P1(2,-1,-4).(2)由点P关于X。)，平面对称后，它在X轴、y轴上的坐标不变，在Z轴上的坐标

9、变为原来的相反数，所以对称点坐标为2(-21，-4).(3)设对称点为P3(x,y,z),则点M为线段PP3的中点，由中点坐标公式，可得x=2X2(-2)=6,y=2(-1)-1=-3,z=2(-4)-4=-12,所以P3的坐标为(6,-3,-12).反思感悟空间点的对称问题的解题策略(1)空间点的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解.(2)对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”这个结论.跟踪训练2已知点P(2,3,1)关于坐标平面XS，的对称点为P,点P1关于坐标平面)Oz的对称点为B，点P2关于Z轴的对称点为八，则点P3的坐

10、标为.答案(2,-3,1)解析点P(2,3,1)关于坐标平面”。)，的对称点PI的坐标为(2,3,1),点P1关于坐标平面yz的对称点P2的坐标为(一2,3,1),点P2关于Z轴的对称点P3的坐标是(2,3,1). 课堂小结：1 .知识清单：(1)空间直角坐标系的概念.(2)点在空间直角坐标系中的坐标.(3)空间点的对称问题.2 .方法归纳：数形结合、类比联想.3 .常见误区：由于对右手系理解有误而导致建立的坐标系不符合要求.随堂演练1.在空间直角坐标系中，点P(1,3,5)关于X。)，平面对称的点的坐标是()A.(-1,3，-5)B.(1,3,5)C.(1,-3,5)D.(1,3,5)答案B

11、2.在空间直角坐标系中，点P(1,-2,-3)到yz平面的距离是()A.IB.2C.3D.14答案A解析点到Z平面的距离就是点的横坐标的绝对值.3 .在正四棱柱48CZ)-48QG(底面为正方形的直棱柱)中，AA=2A8=4,点E在CG上且IG1=3|Ea建立如图所示的空间直角坐标系，则点B,C,E,A的坐标分别为.答案(2,2,0),(0,2,0),(0,2,1),(2,0,4)4 .点P(IJ1)关于M平面的对称点P的坐标为,点尸关于Z轴的对称点尸2的坐标为.答案(1,1,-1)(-1,-1,1)解析点P(1,1)关于Xo)，平面的对称点外的坐标为(1,1,1),点P关于Z轴的对称点尸2的坐标为(一1,-1,1).