第七章多元函数积分学.docx

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1、第七章多元函数积分学7. 1二重积分(甲)内容要点一、在直角坐标系中化二重积分为累次积分以及交换积分顺序问题 模型I：设有界闭区域o=(yWb, 0G)y02() 其中心(x),%(x)在,加上连续，/(x,y)在 。上连续，则b (a)q f(x, y)d = f(x, y)dxdy = dx f(x,DDa l(x)模型【I：设有界闭区域o=(xy)cyd, O(y)则 /( y)d =/(x, y)dxdy = y /(x, y)dx其中%(y),外。)在匕刈上连续， 在。上连续关于二重积分的计算主要根据模型I或模型II,把二重积分化为累次积分从而进行计算, 对于比较复杂的区域D如果既不

2、符合模型I中关于D的要求，又不符合模型中关于D的 要求，那么就需要把。分解成一些小区域，使得每一个小区域能够符合模型I或模型II中 关于区域的要求,利用二重积分性质，把大区域上二重积分等于这些小区域上二重积分之和, 而每个小区域上的二重积分则可以化为累次积分进行计算。在直角坐标系中两种不同顺序的累次积分的互相转化是一种很重要的手段,具体做法是 先把给定的累次积分反过来化为二重积分，求出它的积分区域D,然后根据D再把二重积 分化为另外一种顺序的累次积分。二、在极坐标系中化二重积分为累次积分在极坐标系中一般只考虑一种顺序的累次积分，也即先固定。对7进行积分，然后再对。进行积分，由于区域D的不同类型

3、，也有几种常用的模型。 模型I设有界闭区域D = ,)a, )1S其中科(O),02(6)在,上连续，f(x,y) = /(/cos6,ysin。)在O上连续。 的(0) f (x, y)d =/(/cos,sn )dd = d f (/cos/sin )d例模型II设有界闭区域O = (y,6)e/?, Oy0(6)其中夕(6)在,0上连续，f(x, y) = /(ycosy sin 6)在。上连续。JJf(X, y)d =IJ /( CoSa/sin )dd = JdeJ /(y CoSa/sin )d（乙）典型例题一、二重积分的计算x3dr+(2-x2)2dr = + y例3求 ，=1J

4、(F+ y2 + y)d(Dd, 2 + 4(xl)2 +y2 1解一：JHJ-JTD Dkn 4 + y2 + y d= + yd。+ 0(对称性)D大Ifl%(Sl16一22=J d r2dr0 O3#. 2 _2COwP = yx2 + y2d + 0= d r2dr =D小网D小现巴 。92. JJ . + y2 + y)d 弋(3万 一 2)解二：由积分区域对称性和被积函数的奇偶性可知JJ yd = 0 D yx2 + y2d = 2 yx2 + y2dDDt原式=2 yx2 + y2d+ yx2 + y2d_Di.lDi.2.=2=2Zr 2 r1d-d J r2drK-2 cos

5、J(3-2)解 原式=7(,y)atdy二、交换积分的顺序2aJ2at交换 dx jf(x, y)dy的积分顺序0 其中D由y = y2ax-x2和y =12aX以及x = 24所围的区域。= QuD2“3y = 2ax解出X =匕由2ay = 7 lax - x2 W 出 X-a ya2 - y2因此按另一顺序把二重积分化为累次积分对三块小区域得a 2a f(x9y)dx+dy _f(x,y)dx2a 2a /(x,y)必:+yj22.2a例2设/(y)连续，证明 a-y a2 -COStaf = f,(y)dy dt =句 fy)dy = f(a) - /(0)-COS/2 2三、二重积分

6、在几何上的应用1、求空间物体的体积例1求两个底半径为R的正交圆柱面所围立体的体积解 设两正交圆柱面的方程为f + y2=R2和f + z2 = R2,它们所围立体在第一卦限 中的那部分体积V1 =yR2-x2dxdy其中。为 0xR,OyyR2-x2R 0)所围(包含原点那 一部分)的体积解 V； =4j y4R2-x2-y2dxdy其中。为孙平面上y = 42Rx-2与x轴所围平面区域用极坐标系进行计算7.2三重积分(甲)内容要点一、三重积分的计算方法1、直角坐标系中三重积分化为累次积分(1)设C是空间的有界闭区域O = (x, X z)zl (x, y)z z2(x9 y)9 (x9 y)

7、 d其中Z)是孙平面上的有界闭区域，Z(x, y), Z2(x, y)在D上连续函数/(x, y, Z)在。上 连续，则OJ/(R,y, Z)小=JJafyJf(, y, z)dzD z(x.,) 设C = (x,y,z)zA (%,y)ZXz)其中。为竖坐标为Z的平面上的有界闭区域，则J/(x, 乂 z)du = J dz j f(x9y,z)dxdya D(z)2、柱坐标系中三重积分的计算相当于把(,y)化为极坐标(小60而Z保持不变p0、Q2 jJjJ /(x, y, z)dxdydz =JjJ /(rcos, rsin z)rdrddz3、球坐标系中三重积分的计算X =夕SineCOS

8、e +乡+ = 1所围的区域 JN a b ca b c解 令 x = apsin0cos, y = bpsinsin, Z = Cy?Cos。2222- 1则 (- + = + j)dxdydz = abc dsin d pdp =abcQabCooo5例3计算JJ JX2 + y2 + z2Mz,其中C由曲面冗2 + y2 + z2 = Z所围的区域 解用球坐标 1 2 CosG JX2 + V + ZIdXdydZ = dd p3 sin dpOOOCOS5 52 =10o1 3TT=2 cos4 sin d =七2例4计算JJ（f + y2的ydz,其中C由曲面入丫2 =2z, z =

9、 2所围的区域2万 2222解 JjJ (x2 + y2 Mxdydz = d rydrdz = 2-(2- )r3Jro o 二o 2T二、在物理上的应用丫2 y2 2例1求椭圆锥面r + J = =和平面Z = C围成物体的重心（设密度均匀恒为1） a b c解 设重心坐标（x,y,z）物体所占空间区域为C由对称性可知/ = 0, y = 0j zdxdydzjj dxdydz n由锥体体积公式可知 dxdydz =TUibc令 X = arcos0, y = brsini z = Ct2 11而 JJj ZdXdydZ = abc2 JdNMd tdtC R I-)=2abc .abc2

10、ar =4因此，重心坐标X = 0, y = 0, z =4例2设有一半径为R的球体，工是球表面上的一个定点，球体上任一点的密度与该 点到巴的距离平方成正比（比例系数QO）,求球体重心的位置解一：设球面方程为J + y2 + z2=R2, Po为（R Oe 球体C的重心坐标为（ZH）由对称性可知y = (), Z = O x(x-？)2y2 + z2vX = -J-R)2z2Wv 由区域的对称性和函数的奇偶性，则有-2RJjpdU = O MX2 + R2 +y2 + z2dv = 0于是 J(%-R)2+y2+z2dv = JJ(x2 + + z2)v + R1 Jdv =J d p4 si

11、n dpR1= -R5ooo315j 4U - R)2 + y2 + z2tv = - 2Rjx%u=-(x2 + y2 + z2)dv = -RfJa15_ RR因此X = -2,重心、坐标为一令,0,0) 44解二：设球面坐标x2 + y2+(z-R)2 = R2,P0 (0,0,0),重心坐标(My,Z )由对称性可知x = 0, y = () z kx1 + y2 + z2dv2 = - kx2 + y2 + z2dv n222 Rcosff+ 2 + z2dv = 4dd p5 cos0sin dp000=tcos7 Osin d6 = -63 322 2Kcos6q,JjJ (x2 + y2 + z2)Jv = 4d p4 sin dp = -7R5oo o155S于是z = -Rf重心坐标(0,0,R) 447.3曲线积分(数学一)(甲)内容要点一、第一类曲线积分(对弧长的曲线积分)参数计算公式我们只讨论空间情形(平面情形类似)设空间曲线L的参数方程 = (ty = y(tz = z(t (at)l则(x,z)ds = Jfx(t),y(t),z(t)Nxt)2 +y,(t)2 zr(t)26r a(假设/(x,y,z)和xQ),y(),z皆连续)这样把曲线积分化为定积分来进行计算二、第二类曲线积分(对坐