包含与排除(一)(含答案)-.docx
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1、包含与排除(一)包含与排除问题也叫容斥原理。“容”是容纳、包含的意思,“斥”是排斥、排除的意思,从题目名称上看,比较抽象,卜面我们结合具体实例来说明这种问题的思考方法。【典型例题】例1:如下图,桌面上放着两个正方形,求盖住桌面的面积。(单位:厘米)分析与解:这是一个组合图形,是由两个正方形组成的,中间重合部分是一个长方形,要想求出盖住桌面的面积,可以有三种不同方法:方法一:7?+52 -2x5 = 64 (平方厘米)方法二:7?-2x5 + 5? =64 (平方厘米)方法三:5?-2 x5 + 72 =64 (平方厘米)答:盖住桌面的面积是64平方厘米。例2:四(1)班同学中有37人喜欢打乒乓
2、球,26人喜欢打羽毛球,21人既爱打乒乓球又爱打羽毛球。问全班喜欢打乒乓球或羽毛球活动的有多少人?分析与解:根据题意可画图如下乒羽?人此类问题画集合图比画线段图更直观,更形象一些。方法一:37 + 26-21 =42 (人)方法二:3721 +26 = 42 (人)方法三:37+ (2621) =42 (人)以上三种方法是紧密联系的,都是要从中减去重叠部分,可以从其中一部分中减去,再与另一部分合并,也可以从两部分之和中减去重叠部分。三种方法比较,你喜欢哪一种解法呢?我们根据以上两个例题可以得出这样的数量关系:第一部分第二部分一重叠部分=两部分之和例3:四年级一班在期末考试中,语文得“优”的有1
3、5人,数学得“优”的有17人,老师请得“优”的同学都站起来,数了数有24人。两科都得“优”的有几人?分析与解:根据“第一部分+第二部分一重叠部分=两部分之和”可以求出两科都得“优”的人数。15+ 1724 = 8 (人)另外,从下图中我们还能得出两种不同方法方法二:17 (2415) =8 (人)15 (2417) =8 (人)答:两科都得优的有8人。例4:图新小学四年级二班有24人参加了美术小组,有18人参加了音乐小组,其中11人两个小组都参加,还有5人什么组都没参加。这个班共有学生多少人?分析与解:这个题与例2相比,多了一个已知条件,那就是“有5个人什么组都没参加”。如果按前面的画图方式,
4、这5人无法在图上表示,根据题意,我们可以这样画图。美术24人日作18人全班?人要求全班有多少人,除了知道有5人什么组都没参加外,还要求出参加课外小组的有多少人。24+ 18-11 =31 (人)31+5 = 36 (人)答:这个班共有学生36人。例5:某班学生参加音乐组的有11人,参加美术组的有8人,参加英语组的有12人,既参加音乐组乂参加美术组的有5人,既参加音乐组乂参加英语组的有3人,既参加美术组又参加英语组的有4人,三个组都参加的只有1人,问:至少参加一个组的有多少人?分析与解:根据题意画图如下:如果我们把三个集合圈看成三张纸片,参加两个组的部分是2层,参加三个组的部分是3层,要求至少参
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