概率统计与随机过程 知识点总结--最终版.docx

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1、概率统计及随机过程知识总结第1章随机事件及其概率一、随机事件及样本空间1、随机试验我们将具有以下三个特征的试验称为随机试验，简称试验.(1)重复性：试验可以在一样的条件下重复进展；(2)多样性：试验的可能结果不止一个，并且一切可能的结果都：(3)随机性：在每次试验前，不能确定哪一个结果会出现。随机试验一般用大写字母夕表示，随机试验中出现的各种可能结果称为试验的根本结果，2、样本空间随机试验的所有可能结果组成的集合称为试验的样本空间，记为S,样本空间中的元素，即E的每个根本结果，称为样本点、3、随机事件称随机试验的样本空间S的子集为的随机事件.简称事件。随机事件通常利用大写字母/、B、C等来表示

2、。在一次试验中，当且仅当这一子集(事件)中的某个样本点出现时，称这一事件发生，特别地，将只含有一个样本点的事件称为根本领件；样本空间S包含所有的样本点，它在每次试验中都发生，称S为必然事件；事件0(OuS)不包含任何样本点，它在每次试验中都不发生，称0为不可能事件4、随机事件间的关系及运算(1)包含关系：假设3uA,则称事件力包含事件8,也称事件8含在事件/!中，它表示：假设事件3发生必导致事件/1发生。(2)相等关系：假设3UA且AU8,则称事件力及事件8相等，记为A=50(3)事件的和：称事件4u8=xxwA或xB为事件4及事件8的和事件.事件AUB发生意味着事件4发生或事件6发生，即事件

3、力及事件6至少有一件发生。类似地，称口4为个事件A、4、.、4的和事件，称D4为可列个事件4、4、.的/=1=1和事件。(4)事件的积：称事件ACB=xXA且X8为事件/及事件笈的积事件事件ACB发生意味着事件A发生且事件8发生，即事件A及事件8都发生。ACB简记为ABo类似地，称Aa为个事件a、a,、.、AI的积事件，称Ca为可列个事件a、a7的i=1*=1积事件。(5)事件的差：称事件A-8=xxA且X任8为事件月及事件6的差事件,事件A-3发生意味着事件A发生且事件8不发生。(A-B=A月=A-AB)(6)互不相容(互斥关系)：假设AC3=0,则称事件/及事件8互不相容，又称事件力及事件

4、互斥。事件A及4互不相容意味着事件A及6不可能同时发生。(7)互逆关系(对立关系)：假设ADB=S且AC3=0,则称事件力及事件4互为逆事件,又称事件A及事件4互为对立*件，记为A=5或N=N。注意：事件/的对立事件记为N；根本领件是两两互不相容的：对立事件及互斥事件的关系：对立一定互斥，但互斥不一定对立事件的运算满足的规律：交换律：AjB=BB=BoAz结合律：(ADB)UC=AD(8UC)(ACB)CC=AC(BCC)；分配律：AD(BCC)=(AD8)C(ADC)An(BuC)=(AnB)U(AnC)；对偶律：AUB=ZC与Ae5=Zu与(谯摩根律)二、随机事件的概率1、频率在一样的条件

5、下，将一个试验重复进展次，在这次试验中，记事件H发生的次数为NA次，称比值才为事件力在这次试验中发生的频率,记为/,(A)0频率描述了事件发生的频繁程度.频率所具有的三个性质：性质1：非负性Of(A)1;性质2；标准性1(S)=1;性质3：可加性如果事件A,A2两两互不相容，则2、概率的公理化定义设夕是随机试验，S是它的样本空间，对于的每一事件/赋予一个实数，记为P(Z1),称为事件4的概率，且满足以下三条公理：非负性：对于任意事件4有Pa)0;标准性：对于必然事件S,有P(0=1;可列可加性：设4,4,.是两两互不相容事件，即对于ijtAiArf,工户1,2则有P(AA2)=P(4)+P(4

6、)+.3、概率的性质性质1对不可能事件0,有P(0)=O.性质2(有限可加性)假设4,44是两两互不相容的个事件，则有户(4Ai.A)=P)+PU)+.+)性质3(逆事件的概率)对任意事件4有尸(X)=I一?(A)性质4设44是两个事件，假设8A,则有。(小囱=Pa)-P(而Pa)P性质5对于任意事件4P1性质6(加法公式)对任意两个事件48有PaB=P(Q+P-P(M性质6的推论：P(AuB)P(A)+P(B)性质6的推广：三、古典概率模型1、古典概率模型假设随机试验满足下述两个条件：(1)它的样本空间只含有有限个样本点，即根本领件数有限；(2)每个样本点出现的可能性一样.称这种试验为古典概

7、率模型，简称古典概型，又称为等可能概率模型假设事件月包含A个根本领件，即A=qu与uueit，则有四、条件概率、全概率公式及贝叶斯公式1、条件概率P(AR设小方是两个事件，且以团0,则称尸(4|3)=一(1)为在事件笈发生的条件下，事件力的P(B)条件概率.2、条件概率的性质条件概率P(IA)具备概率定义的三个条件：(1)非负性：对于任意的事件6,尸(B1A)0;(2)标准性：P(S1A)=1；(3)可列可加性：设4，与，是两两互斥事件，则有：PuBiA=ZP(图A)。-/I=I3、乘法公式P(AR)由条件概率的定义：P(A1B)=-即得乘法定理：P(B)假设户(向0,则PC4囱=PG5)P(

8、川向：假设Pa)0,则H力而=Pa)P(H.乘法定理可以推广到多个事件的积事件的情况，设4&C为三个事件，口尸(AB)0,且尸(AeC)=P(C1AB)P(8A)P(A),一般地，设有个事件Aa,，4,之2,并且P(AA2.At)o,则由条件概率的定义可得：P(A4V)=P(AM4.4Jp(AtIM2渠)P(AIA4)尸(&A)P(A)4、样本空间的划分定义I设S为试验/的样本空间，凡及,.，A,为少的一组事件，假设B1Bj=0,iHj,i,j=1,2,n(2)B1IB2.Bzr=5则称B1,B2,纥为样本空间S的一个划分。5、全概率公式定理：设试验的样本空间为S,4为的事件，星,.，区为S的

9、一个划分，且P(Bj)Oa=I,2,),则恒有全概率公式：6、贝叶斯公式定理：设试验的样本空间为S,/1为夕的事件，仇民,.，8为S的一个划分，且P(A)0,P(Bi)0,(i=1,2,)，则PegJA)=-，i=1,2,九(贝叶斯公jP(ABj)P(Bj)7=1式)=2时，两个公式的简化：全概率公式IP(A)=P(A1B)P(B)+尸(AB)P(B)贝叶斯公式IP(B1A)=P(AfB)P(B)P(AfB)P(B)+P(AfB)P(B)7、条件概率P(WA)及积事件概率P(AB)的区别P(AB)表示在样本空间S中，48发生的概率，而P(B1A)表示在缩小的样本空间SA中，6发生的概率，用古典

10、概率公式，则一般来说，P(WA)比P(AB)大。五、事件的独立性1、事件的相互独立性定义：设44是两事件，如果满足等式P(A8)=P(A)P(B),则称事件4B相互独立，筒称AtB独立说明：(1)事件/及事件3相互独立,是指事件A的发生及事件B发生的概率无关.(2)两事件相互独立及两事件互斥的关系：两事件相互独立P(AB)=P(A)P(B)及两事件互斥AB=0二者之间没有必然联系(3)事件/、5独立的充要条件为：P(A1B)=尸(A),P(B)O或P(B1A)=P(8),尸(A)0三事件两两相互独立的概念P(AB)=P(A)P(B),定义：设A8,C是三个事件，如果满足等式P(BC)=P(B)

11、P(C),则称事件A8,C两两相P(Ae)=P(A)P(C),互独立。三事件相互独立的概念P(AB)=P(A)P(B),P(BC)=P(B)P(C),定义：设A,8,C是三个事件，如果满足等式CC则称事件AB,CP(AC)=P(A)P(C),P(ABC)=P(A)P(B)P(C),相互独立。注意$三个事件相互独立=三个事件两两相互独立推广：设4,4，,月“是个事件，如果对于任意攵(IvZ),任意1i：24nt具有等式p(4&)=p(4)p(&)尸(&)，则称4,4，为相互独立的事件结论I假设事件A,A2,4“(2)相互独立，则其中任意k(2k0,假设A,8相互独立，则P(BA)=P(B).反之

12、亦然。定理二：假设A,B相互独立，则以下各对事件，A及3,A及B,A及B也相互独立。推广：个事件A，4，,A(2)相互独立，则将ApA?,Azi中任意多个事件换成它们的对立事件，所得的个事件仍相互独立。3、事件的独立性在可靠性问题中的应用所谓系统(元件)的可靠性是指系统(元件)正常工作的概率补充：排列及组合知识1、加法原理设完成一件事有勿种方式，第/种方式有,种方法，则完成这件事共有：俏+m+几种不同的方法。2、乘法原理设完成一件事有力个步骤，第j种步骤有”,种方法，则完成这件事共有：6XmXm种不同的方法。3、排列公式(1)从个不同元素中不放回(不重复)地选取小个元素进展排列，称为选排列，则

13、所有不同排列的总数为：A：，)=-=m(w-1)(一机+1)(一1)！(2)当上卬时，称为全排列，其计算公式为：P11=A：=!(3)有重复排列：从“个不同元素中有放回(可重复)地取加个元素进展排列，称为可重排列，其总数为)4、组合公式(1)从个不同元素中不重复地选取加个元素，组成一组(不管其顺序)，称为从个不同元素中选取加个元素的组合。则所有不同组合的总数为：I,I=-ZJtn(n-m选排列及选组合的关系：A；=C；m!说明1选组合也等价于：如果把个不同的元素分成两组，一组m个，另一组/r处个，组内元素不n考虑顺序，则不同分法的总数为：-m(n-my.(2)多组组合：把个不同元素分成女组(I

14、WkW6,使第i组有“个元素，4二，/=II假设组内元素不考虑顺序，则不同分法的总数为：常用组合公式：c：=c：7,*=c+c:C1=丸C*,cin=.I=O/=0第2章随机变量及其分布一、随机变量1、随机变量的概念定义：设C是随机试验，它的的样本空间为9=e.如果对于每一个eS,有一个实数才(而及之对应，这样六1(e)是定义在样本空间S上的实值单值函数.称后Ia)为随机变量.说明：(1)随机变量及普通的函数不同；(2)随机变量的取值具有一定的概率规律；(3)随机变量及随机事件的关系2、随机变量的分类(1)离散型：随机变量所取的可能值是有限多个或无限可列个，叫做离散型随机变量.(2)连续型：随机变量所取的可能值可以连续地充满某个区间，叫网连续型随机变量.二、离散型随机变量的概率分布1、离散型随机变量的分布律定义I设离散型随机变量1所有可能取的值为七(A=1,2,.),1取各个可能值的概率，即事件U笳的概率，为Pum=r,A=I,2称此为离散型随机变量：的分布律8说明，40,/:=1,2,.;ZPa=Ik=离散型随机变量的分布律也