二维直角坐标变换.docx

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1、基于线性模型的二维直角坐标变换【摘 要】二维直角坐标变换模型在工程领域中应用特别广泛，该模型是一个非线性模型，对于多公共点的二维直角坐标变换需要进行模型的线性化，计算待求参数的近似值，再采用间接平差原理计算各待求参数最或然值。本文在非线性模型基础上推导出一个线性模型，采用该模型进行二维直角坐标变换，无需计算待求参数近似值，对于涉及到二维直角坐标变换的问题，可以简化其解算过程。【关键词】二维直角坐标变换；线性模型；测量平差1引言坐标是表示点位置的量，在测绘领域，很多测量成果以坐标形式来表示，而进行坐标系的变换更是司空见惯的事。传统的二维直角坐标变换模型是一个非线性模型，对于多公共点的二维直角坐标

2、变换，需要进行模型的线性化，计算待求参数的近似值，因此比较繁琐。本文在非线性模型的基础上推导出一个线性模型，该模型可使涉及二维直角坐标变换的问题简洁化。2二维直角坐标变换的非线性模型XA图1坐标旋转示意图设有如下2个问题：问题1：如图la所示，i点坐标为现将i点绕坐标原点旋转。角度，得j点，求j点坐标。问题2：如图1b所示，在XOY坐标系X中i点坐标为“，现将坐标轴逆时针旋转角度0 ,得新坐标系UC V,求在新坐标系中i点坐标匕.问题1中j点坐标和问题2中i点在UCV坐标系中坐ui标是全都的，因此对于坐标轴旋转的问题，可以转换为点的旋转变换。图la中,设点i相对于原点0的距离为d,方位角为，则

3、j点坐标为：xj = d cos( + )y. = d sin(7 + ) (1)上式绽开为xj = d cos(cr + ) = d cosacos - d sinasmyj = d sin(tt + ) = d cosa xsin9 + dxsinxcos6 (2)即xj= d cos( +) = xi cos - yi sin yj = d sin( +8) = xi sn + yi cos (3)写成矩阵形式为xjl cosyj -sin。sin。cos。由此可得问题2中i点在UCV坐标系中坐标COS。一 sin。sin。cos。 %yi考虑坐标轴平移和缩放，则可的二维直角坐标变换的非

4、线性模型。+ (l+%)cos一 sin。sin xicos yi(6)该模型的确定需要计算平移参数,、缩放系数k及旋转角度。四个参数，因此茗cos。(i-sn9至少需要两个公共点。对于多公共点的坐标变换，将转换后坐标、模型参数一起作为未知参数列误差方程进行计算。设UC V坐标系中坐标和XO Y坐标系中坐标有如下转换关系sn uicos vi对(7)式进行线性化得XiPo生vP k Uj vlJ (8)N将U，当作观测值,则可写出误差方程为vvivyiv0七一褚0yi-vi(9)%其中1%为观看值的改正数。设点总个数为n,则可写出2n个这样的误差方程，写成矩阵形式V = BX 1(10)依间接

5、平差原理可得X = (BByxBlwo验后单位权中误差为f为多余观测值个数。未知数向量协因数阵为2x = (48)T,则未知数向量的协9方差矩阵为XX =4Qx3基于线性模型的二维直角坐标变换A图2基线变换示意图设在XOY坐标系中有n个待转换点4 ,.,取4点作为起点，其余各点作为终点构成n-l条基线向量。对XOY坐标系进行缩放、旋转和平移变换后,变为UCV坐标系，在该坐标系中，原待转换点分别变为用稣用纥，如图2所示，设基线向量44在变换后对应基线向量为综用单位基线向量在变换后对应基线向量为综舔。由此可知BBi-AAi = Ai(11)BoE。- 4。0 = D0Eo(12)(13)又d4 4

6、4(14)得(15)44 = 44 de设 DEo = R2(n-m)+2,得m2,即公共点个数最小为2。4模拟数据验证为验证该线性模型的可行性，在MATLAB中就两种模型分别编制程序，采用模拟数据进行计算比较。通过比较程序代码字符数得，线性模型实现代码共约1867个字符，而非线性模型实现代码共约3252个字符。由此可知，线性模型更简洁用程序实现。模拟数据对两程序进行验证，设有10个点，其在XOY坐标系下坐标如表1所示。两坐标系公共点有4个，其在N CE坐标系下坐标如表2所示。现采用两程序计算非公共点在NCE坐标系下的坐标。程序计算比较分两个方案进行。方案一比较：公共点坐标不包含误差，两程序计

7、算结果坐标差值为0。方案二比较：给公共点在NCE坐标系下各坐标值加一个0-lcm的随机数，再采用程序进行比较计算。两程序计算得验后单位权中误差都为0.0018,坐标差最大值为0.5mm。通过以上比较可知，本文提出的二维直角坐标变换的线性模型是正确的。表1源坐标系中各点坐标点号,V)1公共点标志12340. 2811913. 110522343. 3509910. 6387-132352. 6349903. 144642355. 6973900. 6683-152374. 1808885. 802862380. 2996880. 8519-172383. 4096878. 357782386.

8、5041875. 868992389. 5957873.3563-1102392. 6849870.9123表2公共点在目标坐标系中坐标占号Ao 无误差公共点坐标有误差公共点坐标NENE23856.03782918. 07103856. 04732918.075943871.79632916.19273871.80492916.196663903.17042912.49323903. 17902912.494093915.02952911.08873915. 03222911.09035结束语本文对于传统的二维直角坐标变换模型进行了分析，在此基础上提出一个线性模型，并在MATLAB中编制程序进

9、行了验证计算，证明白其正确性和简洁性。在文献4-6中，采纳了先解算转换参数，再采用转换模型进行坐标转换，这种方法对于单纯的坐标变换是可行的，但对于将坐标变换作为模型一部分的一些问题，如CP山掌握网平差计算却无能为力。同时，将模型转换参数和待求坐标参数统一作为未知参数进行解算，可以猎取目标坐标系下的点位精度。参考文献111武汉高校测绘学院测量平差学科组.误差理论与测量平差基础M.武汉：武汉高校出版社，2003： 102-125.2姚德新.木工程测量学教程M.北京：中国铁道出版社，2003:67-68.3黄斌.测量坐标的转换问题J.北京测绘，2022, (4).4张宪柱，张书毕，姜波，孙庆华.两种平面坐标系换算的改进方法J.测绘工程，2022.5李娜，余学祥，高桂棠，杜贻晶.GPS网平面坐标系统转换及精度分析J.测绘信息与工程,2022, (1).6杨本廷.数字地形图坐标变换的研讨J.城市勘测，2022, (1).