线性代数试题及答案.docx

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1、线性代数习题和答案第一部分选择题（共28分）一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。a22a23a21a21a22+a23B.-(m+n)D.m-nO62O,则A-I等于（）O3J,3a,=n,则行列式a”a2+a3等于(1 .设行列式”a21A.m+nC.n-m12 .设矩阵A=0（12）的元素是（A.-6C.24 .设A是方阵，如有矩阵关系式AB=ACA.A=0CAw5 .已知3X4矩阵A的行向量组线性无关,B.6D.-2则必有（)B.BwC时A=OD.A0时B=C则秩（At）等

2、于（A.1C.36.设两个向量组aC12,B.2D.4B2,，BS均线性相关，则（A.有不全为0的数人B.有不全为0的数人1，C.有不全为0的数人D.有不全为0的数人入2，入S使入1a+入2a2*+入Sas=0和入B+入2B2+入SBS=O人2，入S使入I(a+B|)+?(a2+B2)+s(as+s)=0入2，入S使人1(aJI)+2(a22)+s(as-s)=0人2，入S和不全为。的数u,U2，US使入a+入2a2+入SaS=O和H1B+22+,+uss=07.设矩阵A的秩为r,则A中（A.所有J1阶子式都不为0C.至少有一个r阶子式不等于08.设Ax=b是一非齐次线性方程组，1B.所有r-

3、1阶子式全为0D.所有r阶子式都不为0H2是其任意2个解，则下列结论错误的是（a.n+n2是Ax=O的一个解cn-n2JAx=O的一个解9.设n阶方阵A不可逆，则必有（A.秩（A）nC.A=0B,-n+?是Ax=b的一个解22D.21-H2Ax=b的一个解B.秩(A)=n-1D.方程组AX=O只有零解10.设A是一个n（23）阶方阵，下列陈述中正确的是（）A.如存在数人和向量使Aa=,则a是A的属于特征值的特征向量B.如存在数人和非零向量a,使（入E-A）a=0,则是A的特征值CA的2个不同的特征值可以有同一个特征向量D.如人2,3是A的3个互不相同的特征值，a|,a2,a3依次是A的属于入1

4、，2,入3的特征向量，则a,a2,a3有可能线性相关11 .设入O是矩阵A的特征方程的3重根，A的属于入O的线性无关的特征向量的个数为k,则必有（）B.k3A.k3C.k=3D.k312 .设A是正交矩阵，则下列结论错误的是（）A.A2必为1B.A必为1C.A,=AD.A的行（列）向量组是正交单位向量组13 .设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，B=CTAC.则（）A.A与B相似B.A与B不等价CA与B有相同的特征值D.A与B合同14 .下列矩阵中是正定矩阵的为（(11、D.I20J02;rI00、C.02-3第二部分非选择题（共72分）二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）不写解

5、答过程，将正确的答案写在每小题的空格内。错填或不填均无分。1 1115.356=.92536B=123-1-24,.则A+2B=17 .设A=（aij）3X3，A=2,Aij表示IA1中元素a.的代数余子式（iJ=1,2,3）,则（a1A2+a2A22+a3A23）2+（a21M1+a22A22+a23A23）2+（a31A21+a32A22+a33A23）2=.18 .设向量（2,-3,5）与向量（46,a）线性相关，则a=.19 .设A是3X4矩阵，其秩为3,若山，P为非齐次线性方程组Ax=b的2个不同的解，则它的通解为.20 .设A是mXn矩阵，A的秩为r（n）,则齐次线性方程组AX=O

6、的一个基础解系中含有解的个数为.21 .设向量a、B的长度依次为2和3,则向量a+B与a-B的内积（a+B,a-）=.22 .设3阶矩阵A的行列式A=8,已知A有2个特征值-1和4,则另一特征值为,0106、23.设矩阵A=1-3-321082、已知=-1是它的一个特征向量，则所对应的特征值2；为.24 .设实二次型f（X,X2,X3,X4,Xs）的秩为4,正惯性指数为3,则其规范形为.三、计算题（本大题共7小题，每小题6分，共42分）fI2OA/、/23-Ij25 .设A=340,B=一.求（1）AB；（2）4A.V-240）1-1231-12一513T26.试计算行列式：.201-11-5

7、3-329.设矩阵A=123-2-142-103302、6-62334?求：（1）秩（A）;（2）A的列向量组的一个最大线性无关组。0-230.设矩阵A=-2-3242、4的全部特征值为1,1和-8.求正交矩阵T和对角矩阵D,使T1AT=D.-X31试用配方法化下列二次型为标准形f（X,X2,X3）=x彳+2x2-33+4xx2-4xix3-4x2X3，并写出所用的满秩线性变换。四、证明题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）32 .设方阵A满足Z=O,试证明E-A可逆，且（E-A）-,=E+A+A2.33 .设Ao是非齐次线性方程组Ax=b的一个特解，1,42是其导出组AX=O的一个基础解

8、系.试证明（1） =o+CI，n2=n0+42均是Ax=b的解；（2）n。，1,z线性无关。答案：一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）1 .D2.B3.B4.D5.C6.D7.C8.A9.A10.B11.A12.B13.D14.C二、填空题(本大题共10空，每空2分，共20分)337)-1-3V18.-1019.2+(112-11)(或112+86、=1810(2)4A=43A=64A,而120A=340=-2.-121所以4A=64(-2)=-12826.解3-521110-5-13132-4-1-35-110-5110-5-1313I-1005-11-51-1027.解

9、5-6-512-52-5=30+10=40.AB=A+2B即(A-2E)B=A,而(A-2E)-,=21-12-12-4-56-3、-34;所以B=(A-2E)-,A=111-4-3-5-364,3、03,3-8-6、2-9-6-212928.解一(-2130、1-30-1022434-19,0-53-2、1-30-10112013-112,35103512V01128870011-14-14JIo00oj10010000UOO2、O1OI0011-2030000-I02)000；(1)秩(B)=3,所以秩（A）=秩（B）=3.解二考虑a4=xa+2a2+x3a3,-2x+2+3xj=0x32

10、=T2x2+2x3=43x+4x2-X3=9.方程组有唯一解（2,1,1）,组合系数为（2,1,1）.29.解对矩阵A施行初等行变换-2-I02、0006-20328-2U-2-1003280006000-21r2515n2=451553;（2）由于A与B的列向量组有相同的线性关系，而B是阶梯形，B的第1、2、4列是B的列向量组的一个最大线性无关组，故A的第1、2、4列是A的列向量组的一个最大线性无关组。（A的第1、2、5列或1、3、4歹J,或1、3、5列也是）30.解A的属于特征值=1的2个线性无关的特征向量为1=（2,-10）,2=（2,0,1）.2石/5、经正交标准化，得n尸-55=-8

11、的一个特征向量为1/3、,经单位化得q3=2/3r255215151/3、所求正交矩阵为T=-5545152/3、O53-2/3,1O0、对角矩阵D=01000一&r255(也可取T=0.55215151/3、-532/3.)-4515-2/3;31.解f(X1,X2，X3)=(X+2X2-2X3)2-2X22+4X2X3-7X32y=Xi+2X2-2x3设丫2=2-x3，)3=x3-2因其系数矩阵C=0100=(x+2x2-2xj)2-2(x2-x3)2-5xj2.x=Yi-2y2即2=y2+Y3，x3=Y30、I可逆，故此线性变换满秩。1;经此变换即得f(x,X2,X3)的标准形y2-2y22-5y32.四、证明题(本大题共2小题，每小题5分，共IO分)32 .证由于(E-A)(E+A+A2)=E-A3=E,所以E-A可逆，且(E-A)-,=E+A+A2.33 .证由假设Ano=b,A,=0,A=0.(I)An=A(o+1)=Ao+A=b,同理A2=b,所以山，皿是Ax=b的2个解。(2)考虑/ono+八n1+bn2=o,即(/0+/1+/2)no+12C2=0.则o+1+2=O,否则1Io将是Ax=O的解，矛盾。所以gI+/22=0.又由假设，1，42线性无关，所以/尸0,/2=0,从而Z0