椭圆知识点归纳总结和经典例题.docx

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1、椭圆的基本知识1椭圆的定义：把平面内与两个定点片，B的距离之和等于常数（大于比周）的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做焦距（设为2c）.2、椭圆的标准方程:焦点在坐标轴上的椭圆标准方程有两种情形，为了计算简便，可设方程为mx2+ny2=1（m0,nO）不必考虑焦点位置，求出方程3、求轨迹方程的方法：定义法、待定系数法、相关点法、直接法例1如图己知一个圆的圆心为小标原点半径为2从这个圆上任意一点P向X轴作垂线段尸P,求线段PP中点M的轨迹解：（相关点法）设点M（My）,点P（o,和），则X=IX0,y=得Xo=X,yo=2y.2Vo2jo2=4,得x2（2j）2=4,即

2、2+y2=1所以点M的轨迹是一个椭圆.44、范围.x22,）j22MczIy1W6.椭圆位于直线X=a和y=b围成的矩形里.5、椭圆的对称性椭圆是关于），轴、X轴、原点都是对称的.坐标轴是椭圆的对称轴.原点是椭圆的对称中心.椭圆的对称中心叫做椭圆的中心.6、顶点只须令X=0,得），=力，点BI（O,-6）、历（0,）是椭圆和），轴的两个交点;令y=0,得x=m点A（一。,0）、A2（,O）是椭圆和X轴的两个交点.椭圆有四个顶点：4（一。,0）、A2（a,0）、B（0,一力）、&（0,母.椭圆和它的对称轴的四个交点叫椭圆的顶点.线段AM2、BiB2分别叫做椭圆的长轴和短轴长轴的长等于24.短轴的

3、长等于2人a叫做椭圆的长半轴长.叫做椭圆的短半轴长.BF=BF2B2FB2F2=a.在RtOBiFi中，IoBF=IB2尸2|2一|0囹2,即C2=A2-Zf2.1.若椭圆的连个焦点把长分成三等份，则椭I勺离心率为(B)117A.B.-C.-D.无法确定633如果K到直线18的距离为3,则椭圆的离心率=j32 .椭圆1+4=imb0)的左焦点粉(-c,0),4-0,0)、3(0M是两个顶点ab3 .求经过胸,2),且与椭吟+白侑相同的离心率的椭面标准方程y(1)当e越接近J时，c越接湿，从两=勿-油越小，因此椭圆越扁；(2)当e越接近)时，c越接近)，从而越接源，因此椭圆越接近于圆；(3谓且仅

4、当=时，。=0,两焦点重合，图形为圆，方程成为2.已知P为椭圆2+=1上的点，Fi9K为左右焦点,P_1P/求SMWJ(2)求P点坐标r22.椭圆3+y2=i的两个焦点为序B，过片作垂直于X轴的直线与椭圆相交，一个交点为P,则四|=()椭圆典型例题例1已知椭圆/n+3y2-62二。的一个焦点为（0,2）求团的值.分析：把椭圆的方程化为标准方程，由c=2,根据关系/=从+/可求出加的值.22解：方程变形为2+=1因为焦点在y轴上，所以2机6,解得机3.又c=2,所以26-6=22,m=5适合.故n=5.例2已知椭圆的中心在原点，且经过点P（3,0）,a=3bt求椭圆的标准方程.分析：因椭圆的中心

5、在原点，故其标准方程有两种情况.根据题设条件，运用待定系数法，求出参数。和力（或/和/）的值，即可求得椭圆的标准方程.解：当焦点在X轴上时，设其方程为5+=1（。80）.abQ（）由椭圆过点尸（3,0）,知方+3=1.又a=3b,代入得=1,2=9,故椭圆的方程为y2=2=1(b).当焦点在y轴上时，设其方程为与+a由椭圆过点P（3Q）,知*+*=1.又4=劝，联立解得/=81,b2=9,故椭圆的方程为2+(=1.819例3A3C的底边8C=16,AC和A3两边上中线长之和为30,求此三角形重心G的轨迹和顶点A的轨迹.分析：（1）由已知可得GC+GB=20,再利用椭圆定义求解.（2）由G的轨迹

6、方程G、A坐标的关系，利用代入法求A的轨迹方程.解：（1）以BC所在的直线为X轴，BC中点为原点建立直角坐标系.设G点坐标为（x,y）,由Gq+GB=20,知G点的轨迹是以8、C为焦点的椭圆，且除去轴上两点.因a=10,22故其方程为+=1(y0).10036,2,2设G),(y,y),=(yo).，XX22由题意有3代入,得A的轨迹方程为工+工=1（y0）,其轨迹是椭圆（除,y900324y=3例4已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为华和丝,33过P点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程.解：设两焦点为耳、F2,且IPG=半，IPKI=半.从椭圆定义

7、知2a=PF1+PF2=2y5.即二石.从IP用|尸闾知IP用垂直焦点所在的对称轴，所以在RtAPFFi中，SinNP耳玛嚅弓,可求出NP/第=工，2c=P用cos=茎，从而=/一/=126633r23V23r2V2所求椭圆方程为土+卫一=1或士匚+21=1510105例5已知椭圆方程+4=1（。匕0）,长轴端点为4，A,焦点为片，F”P是ab椭圆上一点，ZAiPA2=O9ZF1PF2=a.求：再P用的面积（用。、b、夕表示）.分析：求面积要结合余弦定理及定义求角的两邻边，从而利用Sa=3q加inC求面积.解：如图，设Pa,y),由椭圆的对称性，不妨设P(x,y),由椭圆的对称性，不妨设P在第

8、一象限.由余弦定理知：怩国2=归+|P段2-2归制归可COSa=牝2.22由椭圆定义知：I尸用+P闾=2，则2一得ppf2=j故为型=#周I%Sina4isin二内呜.例6已知动圆P过定点A(-3,0),且在定圆乐(工-3)2+V=M的内部与其相内切，求动圆圆心P的轨迹方程.分析：关键是根据题意，列出点P满足的关系式.解：如图所示，设动圆P和定圆8内切于点M.动点P到两定点，/即定点A(-3,0)和定圆圆心8(3,0)距离之和恰好等于定圆半径，V即R4+归目=I?M+归同=忸M=8.点尸的轨迹是以A,B为两焦点,22半长轴为%半短轴长为h=用于二77的椭圆的方程：+-=.167说明：本题是先根

9、据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程，求轨迹的方程.这是求轨迹方程的一种重要思想方法.2例7已知椭圆5+V=I(1)求过点Pj,且被P平分的弦所在直线的方程；(22)(2)求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；(3)过A(2,1)引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；(4)椭圆上有两点P、Qt。为原点，且有直线。P、。斜率满足ZoPMOQ=-；，求线段P。中点M的轨迹方程.分析：此题中四问都跟弦中点有关，因此可考虑设弦端坐标的方法.解：设弦两端点分别为M(x,y1),Na2,力)，线段MN的中点R(JGy),则x2y”2,一得(+2X1-2)+2(7+y2X,-y2)=*+2y

10、；=2,由题意知m%2,则上式两端同除以X1-X2,有x1+X2=2t(x1+x2)2(y1+y2)y,，2-0,y+2=2y,%一2将代入得x+2y-%=o.XT2(1)将r=1,y=1代入,得人二立.=故所求直线方程为：2x+4y-3=022x1-x22将代入椭圆方程/+2y2=2得6y2-6y-I=0,A=36-4x6x0符合题意，442x+4y-3=0为所求.(2)将21二&.=2代入得所求轨迹方程为：x4y=0.(椭圆内部分)(3)将之二三=2Z1代入得所求轨迹方程为：/+2y2-2-2y=0.(椭圆内x1-X2x-2部分)22(4)由+得：笑王+(y；+y；)=2,，将平方并整理得

11、x2+2=4x2-2xix2,，+=4/-2凹必，将代入得：4厂2xe+(4-2yiy2)=2,再将3-*代入式得：2-x,x22,即+=1.2此即为所求轨迹方程.当然，此题除了设弦端坐标的方法，还可用其它方法解决.例8已知椭圆4/+y2=i及直线y=+,%.(1)当机为何值时，直线与椭圆有公共点？（2）若直线被椭圆截得的弦长为言二，求直线的方程.解：（1）把直线方程y=X+”代入椭圆方程41+y2=得4x2（xw）2=1,即5x22+w2-1=0.=（2w）2-45（w2-1）=-m2+20O,解得m-50,解：由3女0,得3vZv5,且Z4.k53ky，满足条件的人的取值范围是3Z5,且女

12、4.说明：本题易出现如下错解：由得3vRv5,故2的取值范围是3vRv5.3 k0这个条件，当=力时，并不表示椭圆.例11已知Vsina-y%os=1(04)表示焦点在y轴上的椭圆，求仪的取值范围.分析：依据已知条件确定的三角函数的大小关系.再根据三角函数的单调性，求出。的取值范围.X2yi11解:方程可化为二一+V-=1因为焦点在y轴上，所以-0.COSaSinaSinaCoSa因此SinaO且tana0,这是容易忽视的地方.Sinacosa(2)由焦点在y轴上，知标=,/=(3)求。的取值范围时，应注意题目COSaSina中的条件0aV4.例12求中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过A(i,-2