3拉格朗日方程及振动.docx

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1、三、(补)势力场、势能、动能定理从能量的角度来描述物体的运动现象。现我们将力所作的功的概念进一步推广，可由能量的观点可推出拉格朗日方程。(一)、势力场与势函数假如质点在某空间内任何位置都受有一个大小,方向完全确定的作用力。即质点所受到的力仅与质点的位置有关，记为：F(,y,z)那么这个空间称之为力场。将F向坐标轴投影就有：X = Fx(x,y9z) , Y = Fy(x9y9z) , Z = Fz(x,y,z)设上述的函数是单值、连续、并且具有一阶偏导数。现我们计算/在力场中运动时所作的功，由功的定义知道:W = j(Fdx+ Fydy+ Fzdz)(其中L为质点运动的轨迹)L一般地讲，这个积

2、分与质点运动的路径有关。现仅争论与路径无关的状况。这对于理解物体运动的本质是很有意义的。假如上述的线积分仅与质点的起始位置与终了位置有关，而与路径无关。由高等数学知该微分三项式为某一函数的全微分，即dU = (Fxdx+Fvdy+Fzdz).明显u是坐标刈 z的函数，则定义:U = U(x,y,z)力场的势函数。假如质点从M0运动到M,则代入上述的线积分则有:M = JdU = U(x,y,z)-。(%,为/0)并且F=辿；F=亚昨迎l(二)、势能、势能函数前面我们纯粹从数学的角度引进了势函数，通过势函数，我们可便利地计算有势力的功。势函数的概念比较抽象，但在矢量场的分析中具有普遍的意义。在我

3、们力学分析中，还常常用到物理意义较为明显的势能函数，由势能函数来代替势函数。现我们来看两者的关系。首先来定义势能的概念。所谓势能即:势能当物体在势力场中某一位置时，具有作功的能量。明显，势能具有相对的意义。选取不同的基准位置，则同一位置的势能具有不同的数值。现以质点为例，由定义知：质点M点的势能等于质点从M点还妈M0。时，力场中的力所作的功。依据前面的争论，这个功为二点势函数的差。现我们用V来表示，即：MdU = Uq-UMU即V = U(xyz)-U(x, y,z)明显V是x, z的函数。则我们称 V势能函数。现我们将基准面M。选定为零势面，即U0=O故又有：v = -u这就是说，势能函数与

4、势函数仅差一个负号。由此我们又有几种常见的详细问题的势能函数书上P都有。势能函数可以推断系统在某位置是否稳定。当归dxX=XM0包dx0且不d2Vdx20x=x0则系统在X = X。位置是渐近是稳定的o（三）、机械能守恒定律:设系统有两个位置（和两个瞬时）则:假如设一个状态为任意位置的，一个是初始的，则上式对时间求导数，可以得运动微分方程。即由1+X=T + V=常量,dT dV c+=0dt dt机械能守恒定律在碰撞中常用，即碰撞前和碰撞后，机械能守恒（包括动量守恒，动量矩守恒等等）拉格朗日方程在推出动力学普遍方程时我们用的是直角坐标来表示质点系的运动。一般地说用直角坐标来表示质点系的运动并

5、不总是便利的，特殊是争论多自由度的非自由质点系动力学问题中，假如采纳广义坐标来争论则便利得多。设有一具有抱负的完整约束(即几何条件的约束)的非自由质点系,并设此质点系具有左个自由度数，故可用左个广义坐标%,以表示质点系的位置。作始终角坐标系Oxyz,设质点系中任一质点的位置,可用矢量式4y,z,)表示。明显，假如约束是非定常的，则位矢片是广义坐标准时间的函数。即斤二乳，/，/) (i = l,2,九)(1)此处，是质点系质点的数目。实际上这里也给出了质点系的约束方程有个。fi qj (7 =1,29)近=% (i = 1,2, ,)已知动力学普遍方程为：2(6-仍看)物=。z=l绽开后得：E

6、西- 彳=0(3)z=li=l上式中左边第一项表示主动力系在质点系中的虚位移中的元功之和，写成广义坐标的形式，即/=17=1式中，Q,是对应于广义坐标外的广义力。（左边是主动力和直角坐标表示，而右边是广义力和广义位移表示。用不同的坐标，但表示的都是主动力所作的功，是一回事）（3）式左边其次项表示惯性力系在质点系中的虚位移中的元功之和，将（2）式代入得:k 分正k 九分正m ri=(m 5尸血)=t(欣尸)如 i=li=l=1。/7=1 /=1（留意上式中和式次序的交换）为了将上式中位矢对时间的导数也用广义坐标形式表示，将上式括号中的式子改写为：(6)“小三=幺（仍不红）-班不幺巨qj dt q

7、j dt qj现在来证明上式中有关及的两个关系式：1）、将（1）式位置矢量对时间求导数，可求得任一质点的速度匕=尸曳+之三力(7)此式中，句表示广义坐标对时间的变化率，称为广义速度。并且知道与和区仅仅是广义坐标准时间的函数。由此可求得一个关系式8%(8)vj _ fiq qj2）、将（7）式对任一广义坐标求偏导数，得：亚二航二百十一2, 3%况 7=1 qaqj j（这里留意广义坐标相互是独立的，故生只是时间的函数与其他广义坐标无关）另一方面，直接对（1）式位置矢量求广义坐标%的偏导数后，再对时间/求偏导数得： a ,+ / -Qi及。% ,/=1 由此得到此外一个关系式（比较上面两式）胡二d

8、产）qj dt qj将这两个关系式代入（6）式之中，可得到： d_vi 一 vid my；mgmivi -=一(mv. )-mivi =(lj-)(lj-)一 qjdt1 1qj一 qjdt qj 2qj 2(矢量自身点乘即平方)将此结果代入(5)式中，并引入质点系动能T2 = f也i=2由此可求得:弋二.三箝e 自如.西二刻了西一而)(10)将（4）式和（10）式代入普遍方程（3）式中，最终求得d T Tj=dt q j Gq ：明显，上式对于任意的广义坐标变分5%恒等于零，因此，在各项中3%的系数，即全部括号项中均分别为零上式才恒成立，即d T T 八砌f=Qj(j = ,2,k)(11)

9、这就是其次类拉格朗日方程。它描述具有完整约束的非自由质点系动力学的普遍规律。它是由上个二阶常微分方程组成的方程组，其中包含攵个独立广义坐标。如将此方程组积分，就可求得解,外,为由时间参数表示的函数，这就是以广义坐标表示的质点系运动方程。它含有2左个由起始条件确定的常数，即 = 0时的，质点系广义坐标和广义速度打算。当主动力具有势时，设质点系的势能为V,这主动力的广义力为:0二一V(j = L2,水)因而拉格朗日方程可写成d ,T. T()dt qj qjan现F(j = L2,水)V由于势能V不依靠于广义速度，因而有=0。如引入拉格朗日的j函数L = 7-V,即它表示质点系的动能与势能之差。则

10、上式可改写成:d .L. L c / . c 7、(- = ( = 1,2)at oqj qizz此即在保守系统中，拉格朗日方程的形式。由此可知，当解决在保守系统中的质点系中的质点系动力学问题，即要写出系统的运动微分方程时，就归结成为求拉格朗日函数L = 7-V的问题。明显，拉格朗日函数具有能量的量纲。这不但在机械系统中成立，在电动力学中，有些问题也可求出拉格朗日函数，从而通过拉格朗日方程，来建立电动力学的运动微分方程，故拉格朗日函数及拉格朗日方程，具有更为普遍的意义。求系统固有频率的方法物体结构的固有频率是表示系统的一种固有特性，故计算固有频率,在工程动态问题中是很重要的，必需娴熟把握。一、

11、标准运动微分方程法用动力学方法（动量定理、动量矩定理、动能定理，或拉格朗日方程等），建立系统的运动微分方程。将方程写成标准形式，即：x + x = O再由微分方程坐标参数的系数打算。o留意这里所谓的坐标可以是线位移，也可以是角位移。质量为机，对轴的转动惯量为人中心。至轴。的距离为例 可绕水平轴摇摆的物体，称为复摆（亦称物理摆），设物体的/,如图所示。求复摆微幅振动时的振动周期7。解：取偏角。为坐标，以逆时针为正。由定轴转动时的动量矩定理，得复摆的运动微分方程为： J = -mgl sin 在。很微小时，可令sin9e,于是上式可写为：苧=这就是所求系统的微分方程标准形式。其坐标。前的系数就是系

12、统圆频率的平方，即P = J竽，则系统的固有周期为: 2T = =PP mgl二、静伸量长法对质量弹簧系统（如图）而言，当系统在平衡位置时，弹簧有静伸长R/,（如图）。其平衡方程为：kst = p = mg o故 =詈。代入固有频率的表达式，则有：进一步又有：f二土技其中：k、忆应为系统的等效刚度及等效质量。这些都要记住/例 均值悬臂梁长为/,弯曲刚度为EI,重量不计，自由端附有重P = mg的物体，如图所示。试求出系统的固有频率。解：由材料力学知，在物体重力的作用下，梁的自由端将有静挠度答：系统的固有频率为:三、能量法在阻尼可以略去不计的状况下，系统为一保守系统。振系在自由振动时的动能和势能

13、之和（即机械能）保持常值。（仅质量一弹簧系统）现我们仍以质量弹簧系统为例(如图)。不考虑阻尼，因大多数状况下小阻尼对固有频率的影响不大。现设系统的机械能是守恒的：那么系统在任何一个位置上具有的动能T和势能V的总和不/(/Wk变。就是说:。机=7 + V=常数(。)当振体在平衡位置以外的任一位置，其动能可表示为:T =而这位置的势能V包括两部分，即：(b)振体的重力势能丫 =匕+%.匕；及弹簧势能(c)取系统的平衡位置为势能的零点，则V = -mgxOVe = - (mg + kx)dx = mgx + J kx代入(C)式则得:V =匕 +Ve &2U机=7 + %=常数(d)(e)在振动过程中，振体达到平衡位置时，X =。即系统的势能为零，但振体的速度jlJ:大。也就是说,系统的全部机械能等于全部动能,7 - *2max -机Xmax当振体达到极端位置时，即X=Xmax时，其速度等于零，即:北=0,故其动能为零。也就是说，系统的势能达到最大并且等于全部机械能,即:7 1max - 2由于系统机械能是守恒的故有： =u =v max vz max r max(g)()m .2x2 max于是我们就有:_k 2=2 rnax“max