(整理)探索傅里叶级数的一致收敛性-逐项积分性和逐项微分性.docx

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1、探索傅里叶级数的一致收敛性，逐项微分性和逐项积分性在第15章的第1节和第3节分别建立和证明了傅里叶级数的收敛定理(定理15.3):设/*)是以2%为周期的周期函数，若Fa)在一肛4上按段光滑，则对任意x(-oo,+8),f(x)的傅里叶级数在二处收敛于/(*),即%,.X/(x+)+(x)V+(jcosu+sinnx)=,1=1其中1 p1.，TIr开%=/(x)dx,an=-/(x)Cosnxdr,bn=-/(x)sinnxdx(=1,2,)冗JTT乃J-K乃JF为/(X)的傅里叶系数.以此定理为基磔，请同学们按照下面的步骤进一步探索傅里叶级数的一致收敛性、逐项微分性和逐项积分性.一、几个引

2、理我们知道，若f(x)在m,加上按段光滑，【即f(x)在加上除有限个第一类间断点外连续(此时也称/“)在外封上按段连续)，/(X)在m,加上除有限个点外可导且/(X)在加上也除有限个第一类间断点外连续，简单地讲：/(X)在m,加上按段光滑也就是/co和/(X)都在加上按段连续】，则/(X)和尸(幻都在3勿上可积，并且除4,加上有限个点外，/(X)可作为f(X)的原函数，于是，根据定积分的定义，当我们进一步要求f()在m,切上连续的情况下，注意到拉格朗日中值公式，可得引理1(定积分的牛顿一莱布尼茨公式的推广)若F(X)在4,加上连续，且按段光滑，则rbb(x)dx=0)-()i(x).Jaa提示

3、：选择包含使f(x)不存在的点为分点的。,句的分割T:a=x0X1x.xn=b,由拉格朗日中值公式推出，存在i(XiT,N),使fa)-F(XiT)=r()(芍一项T)=r()f(=,2,)，f)-f(a)=U)-(V1)=)x-,=I=1最后，注意到了(五)在切上可积，利用定积分的定义即可.引理2(推广的分部积分公式)若F(X),g(x)都在出,加上连续，且按段光滑，则Sbbrb/(x)g(x)dx=/(x)g(x)-/(x)g(x)dx.Ja(IJa提示：首先，注意到由条件可得/(x)g(x)在3加上连续，且按段光滑，/(x)g(x)和f(x)g(x)都在,b上可积，且除加上的有限个点外，

4、(/(x)g(x)=(x)g(x)+(x)g(x).其次,对(f(x)g(x)应用引理1即可.引理3(F(X)与/a)的傅里叶系数的关系)设/(x)在一肛句上连续，按段光滑，且/(一4)=/M(注：根据周期函数的特点，上述条件意味着/(X)可看成按段光滑且以2%为周期的连续函数)，记旬，a1t,2为/(x)的傅里叶系数；a,n,为f(x)的傅里叶系数，则4=0，4=疝“,b,n=-nan.提示：直接根据傅里叶系数公式，利用引理1或引理2进行计算即可，例如由引理1=/J：r(x)dx=Jf()-f(-)=0.除上面的三个引理外，在探索的过程中，还要用到关于傅里叶系数的贝塞尔不等式.引理4(贝塞尔

5、不等式)设/(x)在一巴4上可积，记。0,%,2为了(x)的傅里叶系数，则级数？+(;+8)收敛，且1=2 81髭-T;一(x)dx乙n=1汽二、傅里叶级数的一致收敛性，逐项积分性和逐项微分性1、傅里叶级数的一致收敛性定理1(傅里叶级数的一致收敛性)设/(x)是以2为周期的连续函数，且在一石泪上按段光滑，则/(X)的傅里叶级数+Z(acosnx+bnSinnX)w=1在(-oo,+)上绝对收敛且一致收敛于/(),其中%，an,。为/(x)的傅里叶系数.提示：首先，由定理15.3并注意到/(x)连续推出色+ICOS犬+么sin收敛于f(x)；2n=其次，由引理3推出k+11=-1+()2+J+(

6、)2=3+；(。:)2+()1；nn2_nJ2_nJn21-j最后，注意到引理4以及IqCOSnX+4sin闷qj+同，由一致收敛的优级数判别法即可.2、傅里叶级数的逐项积分性定理2设/(x)是以2万为周期的函数，且在一肛；r上按段连续，a-,t记F()=/昔dr,(1)尸(X)是以2万为周期的连续函数，且在-肛乃上按段光滑；(2)记4，A”，纥为7(x)的俾里叶系数，有4=一,，Bn=-an(h=1,2,)：nn00(11、(3)o=V-b11cosnaa11sinna.2ttnn)提示：(1)首先，由变限函数的连续性易得产(X)是连续函数；其次,由变限函数的导数公式，并注意到/(x)在-4

7、,泪上按段连续可推出尸(X)在-肛划上按段光滑，且除Hr上的有限个点外，F,(x)=f(x)-;最后，注意到定积分的区间可加性，周期函数的积分特征和傅里叶系数小的计算公式推出尸(x+27)=;3-dr=-df+rx+2*Jr-dr2=J：/W-ydz+J，a)吟dz=f1/(0-ydr+%-=E-dr=F(x).即尸(X)以2%为周期.(2)利用傅里叶系数的计算公式和引理2直接计算即可，例如,纥=1fF(x)sinZirdx3f1*=F(x)dcosnxnJ-R+-1rfa1Fs)=F11I/(x)-cosvc1v=f(x)CosnxdxSJTI2)cos,1Uk=OnJTJ-Jr(3)首先，

8、由(1)和(2)可对/(X)运用傅里叶级数的收敛定理(定理15.3)推出，F(X)=-+(Az1cosr+B,rsinnx)=-+2m=i21)cosnx+-ansm7?x,n)其次,取x=,并注意到尸()=0即可.定理3(傅里叶级数的逐项积分)设/(x)是以2万为周期的函数，且在-乃,乃上按段连续,记包+(。“cos/tr+Z?SinnX)为/(x)的傅里叶级数(它不一定收敛.，更不一定收敛于/(x),2m=i则对任意4,X-,有J/(r)dr=J+(a11cosnt+bnsinnt)dr.aa2rt=a提示：由定理2的(1)和(2)对F(X)=f(t)-Ja)2山运用傅里叶级数的收敛定理(

9、定理15.3),并注意到定理2的(3)即可.3、傅里叶级数的逐项微分性定理4(傅里叶级数的逐项微分性)设F(X)是以2%为周期的连续函数，且(幻在-肛划上按段光滑，记+(a“cosnx+bsinx)为了(x)的傅里叶级数(注：由条件及定理1易得，此2M=I时目+(。85工+25抽几。收敛且一致收敛于/(x),则2rt=+(-.cos,c+Sinnx)=X，特别，当r(x)连续时，/OO,-+Z(r,cosnx+-SinnX)=八元).I2/1=1提示：首先，由条件可对/(X)运用傅里叶级数的收敛定理(定理15.3)推出，4，口.、f,(+)+f,()-+(cosmrbnSInnx)=:Z”=1Z其次，在利用引理3即可.