第5讲 零点存在的判定与证明.docx

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1、第5讲零点存在的判定与证明零点问题是导函数的一个重要研究方向，也是一个重点和难点,属于一元等式问题，其求解需要综合前面的极值、单调性和最值来考虑.而极值点本身又是导函数的零点,所以这里会层层环绕,分析起来比较麻烦,这是零点问题的一个难点.第二个难点是结合函数单调性和零点存在定理来赋值找零点,这里会涉及不等式放缩法,如果不太理解赋值问题，等学习了不等式放缩法后，专门讲解赋值问题,那时再回过头来理解.下面我们先来学习与零点相关的定义和定理.1函数的零点：一般的,对于函数y=(x),我们把方程X)=O的实数根瓦叫作函数y=/(冗)的零点.2 .零点存在性定理：如果函数y=(x)在区间,目上的图像是连

2、续不断的一条曲线，并有/(tz)()0,那么函数y=f(x)在区间(,b)内必有零点，即(4,b),使得/(aJ=0注意:零点存在性定理使用的前提是f(x)在区间。,目连续,如果/(力是分段的,那么零点不一定存在.3 .零点存在定理的推论:若f(x)在上句上是严格单调函数且连续，则/(0)(6)vn/(x)在(,力)的零点唯一.4 .函数的零点,方程的根,两图像交点之间的联系.设函数为y=f(x),则f(x)的零点即为满足方程/(x)=0的根，若/(x)=g(x)-MX),则方程可转变为g(x)=/?(力，即方程的根在坐标系中为g(x),/Z(X)交点的横坐标,其范围和个数可从图像中得到.由此

3、看来，函数的零点，方程的根，两图像的交点这三者各有特点，且能相互转化：函数/(x)的零点Q方程/(x)=0的根方程变形方程g(x)=A(x)的根o函数g(x)与MX)的交点.在解决有关根的问题以及已知根的个数求参数范围这些问题时要用到这三者的灵活转化.【例】对于方程hu+x=O,无法直接求出根，可以拆分构造函数InX=-尢图像的交点,画出图像可判定其零点必在,1中.求无参函数零点求解无参函数零点的一般解题步骤：第一步:利用导函数求出原函数的单调性和极值点，画出函数大概的趋势图(能够描述函数性质的图像).第二步:在严格的单调区间。,以上找点,使得“)(b)O,即OVX3时，力单调递增.当(x)O

4、,即1无3时，(力单调递减.(x)的单调递增区间是(0,1)和(3,+8),单调递减区间是(1,3).(2)由(1)题可知，当0兀,3时，/(x),/(1)=-2,.J(x)在(0,3上无零点.当元3时,/(e3)=e3-120,又力在(3,+上单调递增，(x)在(3,+8)上仅有一个零点.综上可知，函数/(力在(0,+8)上仅有一个零点.【例2】已知函数f(x)=g3-2-3-2GeR).求函数”力的单调区间.判断函数/(x)零点的个数,并说明理由.【解析】由题意得r(x)=d-21一3,令r(x)=0Wx1=-1,x2=3./(x)与()在区间(-8,+8)上的情况如下表所示:X(8,-1

5、)-1(T3)3(3,+/)小)+00十/(x)单调递增3单调递减-11单调递增函数/()在区间(-8,-1),(3,+力)上单调递增.函数“X)在区间(-1,3)上单调递减.(2)根据(1)题，由函数单调性可知：当冗=T时，力有极大值/(T)=一：.当x=3时，/(x)有极小值3)=-11.在区间-1)单调递增,在区间(-1,3)上单调递减,可知在(-8,3)上,恒有/(x)v,无零点.当工=9时，/(9)0.(举【例】不唯一)函数在(3,+8)上单调递增，由零点存在定理可知，有且只有一个实数z(3,+8),使得/(r)=0.二.函数/(x)有且只有一个零点.讨论含参函数零点个数一一分类讨论

6、讨论含参函数y=2在区间aib上零点个数的一般解题步骤：第一步：利用导函数求出原函数的单调性和极值点，通常极值点与用参数表示：M=g(%)第二步:讨论出函数在区间目上的单调性,通常分为极值点Ai)=g(Z)在区间。,司的左、中、右三种情况讨论.第三步:结合函数单调性和极值/(0)和零点存在定理的推论来确定零点个数,我们通常分为情况讨论：(1)函数在区间,可上严格单调,若满足)(A)vO=(x)在()上存在唯一零点.若不满足(力)0=/(X)在SM上不存在零点.(2)若在区间。,可上,存在唯一极大值/(0),则分为下面三种情况：极大值f()0=若)0,与OJ(b)O,则/(力在(4,Z?)上无零

7、点.【例1】已知函数/(x)=ev-侬一1(R,e=2.71828是自然对数的底数)，讨论y=F(X)在区间0,1上零点的个数.【解析】.(尤)=e-r-1,.f,(x)=ex-a当&1时，/(x)在(0,+8)上单调递增且/(0)=0,/(%)在0,1上有一个零点.当a.e时,/(x)在(一a?)上单调递减，./(%)在0,1上有一个零点当1e时，f(x)在(0,Ina)上单调递减,在(Ina,1)上单调递增.而/=e-7,当e-1.0,即1v6e-1时,/(x)在0上有两个零点.当e-10,即e-1e-1时，/(切在0上有一个零点.当10,(戈)单调递增.当X=Q时，取得最小值(Q)=I-

8、.当()0,即v1时,无零点.当Ma)=O,即=1时，A(x)0,MX)有唯一零点.当Ma)1时，MO)=efO,二.力(力在(-8,4)上有且只有一个零点.令X=2a,则h(2a)=d,-2a.设ci)=h(2a)=ea-2a(a1),则,(a)=ea-20,:.(a)在(1,+)上单调递增.V(1,+8),都有(a).(y)=e-20.(2)=0()=e-2Q0.MX)在+8)上有且只有一个零点.当a1时，(力有两个零点.综上所述,当时，g(x)有一个零点.当=1时，g(x)有两个零点.当1时，g(,有三个零点.求含参函数零点个数参变分离【例1】已知函数/(x)=e*-0r(aR)(e=2

9、.71828是自然对数的底数)，求函数/(x)的零点的个数.【分析】由e一公=0,得。=构造函数g(x)=,然后利用导数求出其单调区间和极值,画出此函数的图像,再判断图像与直线y=的交点情况,从而可得答案.【解析】显然0不是函数/(x)的零，点，由e-双=0得。=(工工0).令g(X)=亍，则gx)=e(；1).x0或0x1时，gf(x)O.g(x)在(y,0)和(M)上都是减函数,在(1,+巧上是增函数.x=1时g(x)取极小值e,又当TO时，g(%)0,.0e时,关于X的方程=更无解.X。=e或。0时关于X的方程=J只有一个解.X。e时,关于X的方程=有两个不同解.X因此Q,aVe时函数，

10、(可没有零点.=e或e时,函数/(x)有两个零点.由零点个数求参数取值范围分类讨论这里分类讨论的步骤和前面讨论零点个数的步骤类似,不再复述，不同的是需要选取符合题设零点个数要求的参数范围，以及会用不等式放缩来赋值找零点(在后面的章节中会有详细讲解)，我们也可以通过取极限的方式来粗糙地确定零点，在考试时,这也是一种较快的解题方式,一般来说,判卷不严格也算对,但也可能会扣分.【例1】已知函数/=Inr-OX(wR).(1)讨论/(x)的单调性.(2)若/(x)有两个零点,求实数。的取值范围.【解析】函数F(X)=InX-的定义域为(O,+e),r(x)=1-.当出0时，由/(x)0,知函数y=(x

11、)在(0,+8)内单调递增.当0时：由r(x)O,即1-O得0x1.Xa由f,(X)0,即4.函数y=(x)在(0,/)内单调递增,在(：，+8)内单调递减.综上,当&O时，y=/(无)在(0,+8)内单调递增.当白0时，y=(x)在(0,，)内单调递增,在1+8)内单调递减.当4,0时，则函数=/5)在(0,y)上为增函数，函数丁=/(另最多一个零点,不合乎题意,舍去.当白0时，由(1)题知，函数y=(x)在(0,j内单调递增,在内单调递减.且当x0时，f(x)-.当“时，fx)-.则-=1n-1=-Ina1O,即Ina-1,解得00,则当冗0时，r(x)0时,/(%)O故/(力在(0,+)单调递增.当0时，由/(%)=0得士=111。，x2=0.若=1,则/(X).0,故J在R上单调递增.若0v1,则当X0,故/(%)在(TZUn和(0,+8)单调递增.当Ina无0时，/(x)0,故/(x)在(Ina,0)单调递减.(2)当=1时，/(力在R上单调递增,不可能有两个零点.当01时，/(x)在(-U),(0,+。)单调递增,在(Ina,0)单调递减,故当X=Ina时，力取得极大值,极大值为/(1nO)=-(+2)