第15讲 导数中的端点效应法.docx

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1、第15讲导数中的端点效应法本节主要讲解高考题的解题技巧:端点效应.“端点效应”,是指在处理“定区间上函数不等式恒成立,求参量取值范围”一类问题中,将变量在端点处的值代人,求出参量的取值范围(题设成立的必要条件),再在所求出的参量的范围内进行分类讨论,求解验证题设成立时参量所满足的充分条件.“端点效应”法最大的优点就是,能够缩小参量的范围,避开不必要的讨论,为我们在解题中节约时间,做到快解.它也是高考数学中一种常用的技巧方法.端点效应的多维度表达第一层维度:若f(x).0(含参数)在xm,网上恒成立,则F(X).0在区间Xem,川端点处也必须成立,即PwQ1/W.0第二层维度:若M二,要使*).

2、0(含参数。)在mM上恒成立,则必然有1r(M.Im=O1,(),O第三层维度:若(八二要使F(X)0(含参数。)在Xd上恒成立,则必然有J”(M/5)=0/().O(函数凹凸性证明).第四层维度、第五层维度(放心,不会考).端点效应缩小必要性范围利用端点效应法的一般解题步骤：第一步:必要性缩小范围,利用端点效应,我们可以得出参数的一个取值范围,虽然很多考题中,我们得到的范围就是最终的结果,但要注意的是这个范围是必要性范围,实际范围可能会更小,不过有了这个范围之后,可以大大降低我们后续的思考难度,减少解题步骤,接下来,继续正常求导,只是需要让刚刚得到的参数范围帮帮忙.第二步:充分性验证或者确定

3、结果,有了前面的必要性范围之后,我们就按照常规的恒成立问题的解题思路求解即可,利用反证法验证或者常规讨论都行.【例1】已知函数/(x)=X1nX-1)2+1,R,若对任意X(1,oo),f(X)Co恒成立,求实数的取值范围.【解析】解法一:分类讨论由题f(x)=1nx-2(x-1),x(1,”).令g(x)=f,(x),则g,(x)=.X(1)当4,0时,在X1时,g0,从而g(x)g=0. /(X)在(1,+)上单调递增.J/(x)(1)=0,不合题意.(2)当00时,令gf(x)=0,解得冗=1.2ai若,1,即在x1时,g(x)0,2a2：,g(x)vg(1)v0./(x)在(1,+8)

4、上为减函数./(x)1,即当Xe(I时,g(x)0,在(1,卷)时,g(x)g(1)=0, /(x)在(1,上单调递增,从而XJ1,-1W,(x)/(1)0不合题意.12a)12aJ综上所述,若/(幻0对戈(1,+)征成立,则.法二:端点效应法第一步:必要性缩小范围.要使/(x)=x1nx-tz(x-1)2-x+1OmR,在x(1,+8)上恒成立,则需要在端点处也成立,即/(1),0恒成立. /=0,则由端点效应可知有/(1),0成立.又/(1)=0,则由端点效应可知：有0成立.又,ff()=1-2。,则r(1),0可得a.1.X2第二步:充分性验证,见法一.数。的取值范围.【解析】解法一:分

5、类讨论/(x)Vg(X)等价于X1nX”0,即X1nx-1)0,0(X)在(1+)上单调递增,由(1)=0,z(x)A(I)=O,冗/0,即/(x)1,X1,时,h,(x)0,(x)单调递增,/(x)g(x)不恒成立.aa)(3)当a.2时,X(1,+),hf(x)0,(x)在(1,+oo)上单调递减,h(x)A(I)=0,Xh(X)0,即f(x)g(x)恒成立.故/(x)g*)在(1,+8)上恒成立，实数a的取值范围是2,+8).法二:端点效应法第一步:必要性缩小范围./(4)Vg(X)等价于XInX-(A-”)Co,即XhnX-如心0,212记A(x)=Inx-0,要使h(x)在(1,+)

6、上,h(x)0恒成立.2则力(1),0,(1)=0,根据端点效应,则必然有(1),0.又(X)=1q=生竺,可得厅(1)=1q京。2.X22x2第二步:充分性验证结果.可以用法一中的分类讨论,来验证。V2时,f(X)0,求。的取值范知【解析】解法一：当x(1,)时，/(x)0等价于Inx，D0.设x+1g(x)=InX-华D,则=1-=v+-q)j+1()=0.x+1X(x+1)x(x+1)(1)当区,2,x(1,+)时,J+2(1-a)%+1./-2+10,故g0,g()在(1,+)上单调递增,因此g(x)0.(2)当。2时,令g(x)=0得玉=-1-(-1)2-1,x2=-1+(-1)2-

7、1由%1和再=1得百1，故当re(1)吐g()0,g()在(1W)上单调递减,因此g(x)0在XW(I,+8)上恒成立,则需要在端点处也成立,即/(1).0恒成立.V/(1)=0,则由端点效应可知有(1).0成立，又r(x)=In1+X+1-,则/(1).0可得a,2.第二步:充分性验证,见法一.【例4】已知函数八)=-1一尢一奴2,当彳0时,/(为0,求实数。的取值范围【解析】解法一:分类讨论第一步:求导,讨论函数单调性,并结合特殊值/(0)=0缩小参数范围.(。)=ev-1-1ax.第二步:当a,0时,不等式恒成立.当60时,在0,+)上ff(x).0恒成立,则有f(X).f(0)=0.第

8、三步:当0时,拆分函数,结合指数不等式放缩,进一步确定参数范围.当。0时,令8。)=,*)=2奴+1,由指数不等式可知,当03，1,即0!时,利用隐零点和不等式放缩反证不等式不恒成立.2当(时,函数y=g(x)与y=(x)相交于点(0,1)和(X0,%).同时,当X(0,%)时,广(幻V0.当戈(0,+)f,(x)0,即可知(x)mh1=/伍)=e7-八一国,将C=1+2”代入得e，-1gx_/(-v0)=e%-1-与-.X0(XoO),F(x)=ev-x-x(x0),则广(X)=C11?二！.又由指数不等式可知1+(r),-二那么尸”-1=O,BPF(x)在区间(0,+8)上递减,因此有j)/(0).0./(0)=On/(0).0,又(x)=ex-1-20r,J/(0)=0.广(0)=On/(0).0,又尸(X)=F-2m可得;./.第二步:充分性验证结果略.