数理经济学茹少峰课后题及答案.docx
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1、1求下列函数的极值。2x2212xyXxyy3ax3by16(4)InX一XX/1出血一症丽物1:14/古66,认取攵/4Hr殂fx2xy3a0,fyX2y3bO解得,(x,y)(2ab,2ba)为可能的极值点根据充分条件,函数f(x,y)的二阶导师组成的HeSSian矩阵为3a25ab3b2oH30,因此(2ab,2ba)为f(x,y)的严格极小值点,极值为(2)根据一元函数极值的必要条件,可得因此该函数在其定义域内为单调递增函数,极值不存在。(3)根据元函数极值的必要条件,可得求得极值点为XIo由充分条件知y66o当X1时y0,所以该函数极值不存在(4)根据一元函数极值的必要条件,可得求的
2、极值点为Xe由充分条件知y2xIn3xXCO,因此该函数存在极大值为-P2.讨论函数fx,XyX2y2I的极值。解:根据二元函数极值的必要条件,可得区y)(00、(xy、(_J(X(2,9),(,y)(2,2)a,y)(升为可能的极值点根据充分条件,函数f(X,y)的二阶导师组成的HeSSian矩阵为(x,y)(0,0)时,H10,因此函数在该点无极值;3-(x,y)(JJ时,H20,海赛矩阵为正定矩阵,因此函数在该点有严格极11Z(x,y)(一,-)时,H22220,海赛矩阵为正定矩阵,因此函数在该点有严格极小22-221值为;811(y)(q、1,2,2)时,20,(DW0,(I)?M0,
3、则海赛矩阵为负定矩211(x,y)(-2时Y2820,(D州0,(2I)A0,则海赛矩阵为负定矩阵,因此函数在该点有严格极大值为8;阵,因此函数在该点有严格极大值为3. 试说明对于任意的0,生产函数f(x)K1是凹函数。证明:&AK11,fhAK111WA(I)K1fUA(DK1所以函数的HeSSian矩阵为因为01,01,所以IH(K_1)0;且(I)A0,(02A7,Hessian是负定的,因此生产函数是严格凹函数4. 考虑生产函数y1KPo如果01,01,1,试说明该生产函数对于1和K的任意取值都是严格凹函数。如果1,该函数是什么形状?证明:(1)同上,可求得函数的HeSSian矩阵为H
4、essian是负定的,该函数对于K、1任意取值都是严格凹函数5. 某完全竞争厂商由单一可变投入1(劳动),每期工资率为W。若该厂商每期的固定成本为F,产品的价格为P。,要求:(1)写出厂商的生产函数、收益函数、成本函数和利润函数;(2)何为利润最大化的阶条件?解释此条件的经济意义;(3)什么样的经济环境才能保证利润最大化而不是最小?解:(D生产函数为:Qf(1)收益函数为:RPQPf(1)成本函数为:C1WDF利润函数为:RCPf(1)(1W0F)(2)禾U润最大化的一阶条件为:W1,0,即Wo该条件的经111P济含义为:在利润最大化时,单个要素的边际产量等于要素单位成本与产品价格的比值。(3
5、)要满足利润最大化而不是最小,则要满足利润最大化的二阶充分条件:因为P。,所以“优,也就是说,在边际产出递减规律的经济条件下才能实现d21利润最大化.6.某厂商有如下的总成本函数C与总需求函数Q:C-Q3-7Q2I11Q50,Q100P3请回答下列问题:(1)确定总收益函数R与总利润函数。(2)确定利润最大化的产出水平及最大利润解:RPQQ(100Q)(2)利润最大化的一阶必要条件为:解得,Q1,QIE利润最大化的二阶充分条件为:-2Q12,当Q1时,-0,函数取得极小值为-55.33;Q当Q11时,飞0,函数取得极大值为1.33;2Q所以,在产出水平为11时,利润最大为I1133设有二次利润
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