专题6 第8讲　圆锥曲线的探索性问题.docx

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1、第8讲探索性问题【母题】已知椭圆C： 9/+/=?2(?0),直线I不过原点。且不平行于坐标轴，/与。有两个交点4 B,线段川？的中点为M(1)证明：直线的斜率与/的斜率的乘积为定值；若/过点停，延长线段与C交于点P,四边形04P4能否为平行四边形？若能,求此时/的斜率；若不能，说明理由.(2)思路分析假设四边形OAPB能为平行四边形I线段AB与线段0P互相平分I计算此时直线/的斜率I下结论(1)证明设直线/： y=kx+bO, 6W0),A(x, yi), 4(x2,/)，M(xm, yi).将 y=kx+b 代入 9x2+y2=nr 得(*+9丫+2 助一 於=0,r x+x2 kb9b政

2、工历=-2-=冒+.N”=百二十匕=7+夕于是直线。河的斜率华河=产=一%即标讹攵=一9.Xm K所以直线的斜率与/的斜率的乘积为定值.(2)解 四边形OAPB能为平行四边形.因为直线/过点仔，,，所以/不过原点且与。有两个交点的充要条件是心0, kW3.9由(1)得的方程为歹=一炉.设点尸的横坐标为必，I:缶”舟将点信 机)的坐标代入直线/的方程得力=若出,因此XM=k(k-3)in3(R+9)四边形。力P8为平行四边形，当且仅当线段48与线段OP互相平分，即立=2xm.于是k(k-3)m3 伙2+9)土km/-2 X39+9解得k】=4一巾,42=4+巾.因为左0, k沪3, z=l,2,

3、所以当直线/的斜率为4一巾或4+由时，四边形Q4P8为平行四边形.r2子题1已知椭圆C j+/=l的左、右焦点分别为丹，F2,左、右顶点分别为小，A2.（1）若M为。上任意一点，求的最大值；椭圆C上是否存在点P（异于点4,小），使得直线以”以2与直线工=4分别交于点E, F,且|印=1?若存在，求出点尸的坐标；若不存在，请说明理由.解（1）由椭圆的定义可知MB| + |A/B|=4,巡哼幽），当且仅当|A/i|=|MB|=2时等号成立，的最大值为4.（2）假设存在满足题意的点P.不妨设 P（xo, y（）（y（）0）,则一2xo-4 X 8 义 5 = 160, ,该方程无解. 不存在直线/，

4、使得48。尸的面积是的面积的3倍.2. （2020滁州模拟）已知椭圆E：，+=1的左、右焦点分别为丹，F2,是否存在斜率为一 1的直线/与以线段FyFi为直径的圆相交于4 B两点，与椭圆E相交于C,。两点，RCD-AB=岑亘？若存在，求出直线/的方程；若不存在，说明理由.解假设存在斜率为一1的直线/,设为y=x+?，由题意知，Fi（-l,0）,所以以线段为直径的圆为,+产=1,由题意，圆心（0,0）到直线/的距离=舄0,解得w27,又 m f2,所以 m22.设 Cg yi）,。（工2,”），巾1 .8？ 4产一12则 X十X2=7, XX2= y ,|8尸小而卜2刈=gx国沔Aylbyllm

5、2=7若|808|=粤亘，则小义小二万X半X小二裾=呼,整理得 4?436淤+17=0,）17解得m2 =；或於二抗又m20,得(2 左 2+1.2+4 履一 2 = 0, 4- 一 4k.X1+X2- 2A2+1，2XX2=2k2+VS.ipq 习 QRI。川 sin/PQ 那山/尸 04,；1。尸11。年inNPQB QBsmZPQB.QA _APQQ SdBP。/ sin Z PQA = sinZ PQB,:.zpqa=zpqb9kQA=k()B .加 y2mX2二（7 1）（X1 +工2）= 2Ax 1X2,AL7艮口一（加一22+ = -2左22+ ， 解得加=2,存在定点。(0,2

6、),使得啸)=留丝恒成立.2.在平面直角坐标系xOy中.已知点。(第，0),直线/：尸2小，动点尸满足到点。的距离与到直线/的距离之比为乎.已知点”(一小，0), G是圆： x2+y-2V3x-21=0上一个动点，线段HG的垂直平分线交GE于P.点S, T分别在x轴，y轴上运动，且|S7 = 3,动点、P满足办=坐宓+专亓.(1)在这三个条件中任选一个，求动点P的轨迹C的方程；(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)(2)设圆。：x2+/=2上任意一点A处的切线交轨迹。于M, N两点，试判断以MN为直径的圆是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由.解(1)若选,设

7、P(x,力，根据题意得,yl（x一小）2+y_ 小x-2y32整理，得/*1,所以动点尸的轨迹C的方程为7+5=1.若选，由 ： x2+y22y3x-2l=0 得(x4)2+产=24,由题意得|P”| = |PG|,所以 PH + PE = PG + PE = EG=2 乖|g=2小，所以点P的轨迹C是以，E为焦点的椭圆，且=小，0=小，则b=小,所以动点尸的轨迹。的方程为+=1.o 3若选，设尸(x, y)t S(x, , 0), 7(0, V ),则-2+j/ 2 = 9,(*)因为5=坐市+坐而所以，将其代入(*),得+5=1,所以动点尸的轨迹。的方程为3+专=1.o 3(2)当过点/且

8、与圆。相切的切线斜率不存在时，切线方程为x=y2,当切线方程为x=啦时，M(m，6)，N(6，一也)，以MN为直径的圆的方程为。一啦)2+产=2.当切线方程为工=一地时，M(一 也)，N(一近 一啦)，以N为直径的圆的方程为(x+媳y+f=2.由联立，可解得交点为(0,0).当过点力且与圆。相切的切线斜率存在时，设切线方程为歹=云+加，即需= 2(+1).y=kx+m,联立切线与椭圆。的方程4+已_I 并消去y,得(1 +2-)炉+4 痴 x+2/2 6=0.因为/ = 16k2m24(1 +2 标)(2射-6)= 8(机 26k23)= 8(2/+2 6k2 3)=8(4/+ 1)0,所以切线与椭圆。恒有两个交点.设 M(xi,州),N(m, j2),则 X+X2=2m2 61+2* RX2= +2Q因为OAf=(xi, y), ON=(X2, V2),所以 OM ON=xX2 +yy2=xX2 + (kxi + m)(kx2 + w) = (1 + F)xiX2 + km(x + %2)+ w2 = (1 +2m2 6 4kmF)，T+2F+T+2F+w23m2 -6 63 3 X2(R+1)66A21+2X1+2公所以OM1ON,所以以MN为直径的圆过原点(0,0),综上所述，以MN为直径的圆过定点(0,0).