专题三 第4讲数列中的奇、偶项问题.docx

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1、第4讲数列中的奇、偶项问题数列中的奇、偶项问题是对一个数列分成两个新数列进行单独研究，利用新数列的特征(等差、等比数列或其他特征)求解原数列.例 已知数列斯满足。1=1, 42=；，3 + (1)斯+22斯+2(1)-1=0,令儿判断是否为等差数列，并求数列的通项公式；(2)记数列斯的前2n项和为以，求T2n.解(1)因为3 + (1)+224“+2(1)-1=0,所以3+( 1 产.1如+1一221+2(I)- 1=0,即。2+1 -。2-1=2,又 bn - Cl2n I，所以 b“+1 bn 。2+1 -。2-1 2,所以小是以h=0 = 1为首项，2为公差的等差数列，所以儿=l+(-l

2、)X2=2-l, neN*.对于3+(1)如+22如+2(1)-1=0,当为偶数时，可得(3+1)斯+22斯+2(1 1)=0,即誓=1所以42,。4,。6,是以为首项，J为公比的等比数列；Cln 乙乙乙当为奇数时，可得(31)。“+2 2 斯+ 2(1 1) = 0,即 0|+2 ”=2,所以 1, 3,。5,是以0 = 1为首项，2为公差的等差数列，所以= 31 +。3 Hb。2- I) + (。2 +。4 Hb。2), 11 2 = X 1 +77(- 1)X2 +jL1 1 2=+1一点能力提升(1)数列中的奇、偶项问题的常见题型数列中连续两项和或积的问题(斯+。+1 =人)或%。+1

3、 = A)；含有(一1)的类型；含有伍2, 。27的类型；已知条件明确的奇偶项问题.(2)对于通项公式分奇、偶不同的数列求S时，我们可以分别求出奇数项的和与偶数项的和，也可以把21+2A看作一项，求出S2A,再求S- =S?女一侬.。跟踪演练1 .数列斯的通项公式为斯=(一 1)一“4-3),则它的前1()()项之和Sioo等于()A. 200 B. -2(X) C. 400 D. 400答案B解析 5ioo=(4X l-3)-(4X2-3) + (4X3-3)(4X 1003)=4X(1 2) + (34) + (99-100) = 4义(-50)= - 200.2 .已知数列。的前项和S=

4、(1)力，若对任意的正整数小使得(。+|p)0恒成立，则实数的取值范围是.答案(一 1,3)解析当=1时，m=Si = -1；当 心2 时，an=Sn-Sn-i=(-l)nn-(-yn-1)=(-l)n(2n-1).因为对任意的正整数n,(即+ip)(即-p)0恒成立，所以(- 1)+1(2+1)-/?(-1 )(2 - 1) 一用0.当是正奇数时，化为。一(2+1)山)+(2-1)0,解得 12p2+l,因为对任意的正奇数都成立，取 =1时，可得一lp3.当是正偶数时，化为山一(2-1)+(1+2)0,解得一1 2np2n 1,因为对任意的正偶数都成立，取=2时，可得一5p3联立1解得一1

5、p3. 5p3,所以实数p的取值范围是(一 1,3).3 .在数列斯中，已知0 = 1, 4斯十1=(9,记S”为“的前项和，bn=a2n+a2n-,(1)判断数列4J是否为等比数列，并写出其通项公式；(2)求数列4的通项公式;求Sn.解(1)因为 an-a=所以斯= (/) ,所以；2=, 即 4”+2=呼小因为儿=。2 +。27,所以九十 1 _2”+2 + r+ _淤2+1127 _ 1bn。2 +。2 I。2 +。2 I2所以数列为是公比为;的等比数列.I，所以=|xg)-i=, nEN*.因为 0 = 1,042=5，所以。2=b=a+ai =(2)由(1)可知斯+2=5,所以。3,。5,是以0 = 1为首项，g为公比的等比数列；。2,。4,。6,是以42 = 3为首项，3为公比的等比数列，所以。2“-1 = 6)一 ,。2 = 3,四_1所以afl=12 ，为奇数,j, 为偶数.又 S2n-=S2n 。2 = 32 23J 2，(3)因为 S2 = (ai+。3HH2/l1) +(42 + 44HH Cl2n)-33 -，为偶数，所以Sn =2143-,及为奇数.2-