专题6 第1讲 直线与圆.docx

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1、第1讲直线与考情分析1.和导数、圆锥曲线相结合，求直线的方程，考查点到直线的距离公式，多以选择题、填空题形式出现，中低难度2和圆锥曲线相结合，求圆的方程或弦长、面积等，中高难度.考点一直线的方程【核心提炼】1.已知直线/工 4x+8d，+G=0（4,不同时为零），直线/2： A2x+B2y+C2=0（A2, 以 不同时为零)，则/|/2。4生-45=0,且AQ-LCiWO, /山20AlL+B归2=0.2.点P（x（）,州）到直线J: Ax+By+C=O（Af 8不同时为零）的距离d=|Ayo+B)o+C|yjA2+B23.两条平行直线/i： Ar+8.y+G=0, /2： Ax+By+C2=

2、O（At B不同时为零）间的距离d=IC1-C2I44+庐例1若直线小x+y+6=0与以32）叶3丁+2=（）平行，则与L间的距离为（）A艰B.平C.小D.平答案B解析 由/2得（4-2）=lX3,且 qX2W3X6,2解得。=-1, / l： xy+6=0, h： xy+1=0.与/2间的距离4=823 .直线4x+y+3a1=0恒过定点M则直线2x+3厂6=0关于点N对称的直线方程为（）A. 2x+3y-12=0B. 2x+3y+12=0C. 2x-3y+12=0答案BD. 2x-3y-12=0解析 由 ax+y+3a 1 =0 可得 (x+3)+y 1 =(),fx+3=0,令彳i八 可

3、得x=3, y=l,，N（一3/）.设直线2K+3），-6=0关于点N对称的直线方程为2x+3），+c=0（cW6）.|6+3-6| |-6+3+c|4+914+9解得c=2或c、=6(舍去).所求直线方程为2x+3)，+12=0.易错提醒解决直线方程问题的三个注意点求解两条直线平行的问题时，在利用A山242以=0建立方程求出参数的值后，要注意代入检脸，排除两条直线重合的可能性.(2)要注意直线方程每种形式的局限性，点斜式、两点式、斜横式要求直线不能与冗轴垂直，而裁距式方程即不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线.(3)讨论两直线的位置关系时，要注意直线的斜率是否存在.跟踪演练1

4、(1)已知直线/经过直线6x+y=2与/2： 2%，=1的交点，且直线/的斜率为2一右则直线I的方程是()A. -3x+2y+=0C. 2x+3y5=o答案CB. 3x-2y+l=0D. 2x3y+=0解析解方程组x+y=2,2x-y=,所以两直线的交点为2因为直线/的斜率为一宗所以直线/的方程为)，- 1=一|。一1),即 2x+3y5=0.(2)已知直线/】：入一)；+4=0与直线七：x+63=0(ZW0)分别过定点A, B,又八，乙相交于点M,则|M4|M3|的最大值为.25答案f解析 由题意可知，直线/工乙一y+4=0经过定点4(0,4),直线，2： x+6一3 = 0经过定点8(3,

5、0).易知直线/i：履一y+4=0和直线b：x+6一3=0始终垂直，又M是两条直线的交点，所以MA.LMB,25所以|M4|2+|MB|2=|A砰=25,故(当且仅当|MA| = |M8尸岁时取“ = ”)考点二圆的方程【核心提炼】1 .圆的标准方程当圆心为3, b),半径为时，其标准方程为0一。)2+()，一份2=产，特别地，当圆心在原点时,方程为好+V=上2 .圆的一般方程+y2+Dx+Ey+F=0,其中。2+/一4(),表示以(一9，一匀、)D2+I4F为回，。，2 为径的圆.例2 (1)(2018天津)在平面直角坐标系中，经过三点(0,0), (1,1)，(2,0)的圆的方程为答案 x

6、2+y2-2x=0解析 方法一 设圆的方程为=0,2+O+E+/=(),4+2。+/=0.，圆的方程为x2+y22x=0.方法二 画出示意图如图所示,则QA8为等腰直角三角形,故所求圆的圆心为(1,0),半径为1,，所求圆的方程为(工一1)2+)2=1,即 x2+y2-2x=0.与y轴正半轴交于两点A, 5(5在A的上方)，且4用=(2)已知圆C与元轴相切于点7(1,0),3 .则圆C的标准方程为答案(X1)2 + ，一地户=2解析设圆心C(a,份，半径为几圆。与x轴相切于点7(1,0),*.a= 1, r=b.又圆。与y轴正半轴交于两点，Z?0,则 b=r,V AB = 2f ；2=2/户一

7、1,：.r=y2t故圆C的标准方程为(x1)2+()-媳/ = 2.规律方法解决圆的方程问题一般有两种方法(1)几何法：通过研究圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程.代数法：即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数.跟踪演练2 (1)(2020全国H)若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2a)，-3=0的距离为()A 苴 r45A, 55 C. 5 D. 5答案B解析 由题意可知圆心在第一象限，设为m, b),圆与两坐标轴都相切，: a=b,且半径 r=u,圆的标准方程为(X)2 + (y)2 =2.丁点(2)在圆上，(2 - 4)2 + (1

8、。)2 = 2,6T2 6 + 5 = 0,解得 4=1 或 4 = 5.当4=1时，圆心坐标为(1,1),此时圆心到直线2x-y-3=0的距离为12X1 131 2 小公立2+(5 ；当=5时，圆心坐标为(5,5),此时圆心到直线2x-y-3=0的距离为二*一5-3| 2 小22+(- I)25(2)已知A, B分别是双曲线C 5一方=1的左、右顶点，P(3,4)为。上一点，则以6的外综上，圆心到直线2%)，-3 = 0的距离接圆的标准方程为答案 /+。,一3)2=109 16解析 TP(3,4)为 C 上一点，y=l,4解得?=1,则 8(1,0), :.kpB=3=2,的中点坐标为(2,

9、2),P8的中垂线方程为y=一;(工一2)+2,令 x=0,则 y=3,设外接圆圆心为M(0, f),则 M(0,3), r=|MB|=Vi+32=ViO,J XPNB外接圆的标准方程为d+(),一3尸=10.考点三 直线、圆的位置关系【核心提炼】1 .直线与圆的位置关系：相交、相切和相离，判断的方法(1)点线距离法.(2)判别式法：设圆C: (x)2 + 0，一份2 =凡直线/. Ax+By+ C=()(A2 + BVO),方程组Ax+By+C=Of_(xa)1+(yhy=r19消去y,得到关于元的一元二次方程，其根的判别式为/,则直线与圆相离。/().2 .圆与圆的位置关系有五种，即内含、

10、内切、相交、外切、外离.例3 (1)已知直线/：犬+缈-1=0(。2是圆C： /+y24x2y+l=0的对称轴，过点A( 一4, )作圆C的一条切线，切点为5,则|48|等于()A. 2 B. 472 C. 6 D. 2迎答案C解析 由题意，得圆C的标准方程为(X2)2+。-1)2=4,知圆。的圆心为C(2,l),半径为2.方法一 因为直线/为圆。的对称轴，所以圆心在直线/上，则2+。一1=0,解得。=一1,所以H8|2 = |AC|2一逐。|2= (-4-2)2+(1 - 1)24=36,所以|A8|=6.方法二 由题意知，圆心在直线/上，即2+-1=0,解得。=-1,再由图知，H8| =

11、6.5(2,-1)A. 2xy =0B. 2x+y-=0C. 2xy+=0答案DD. 2x+y+l=0(2)(2020全国 I )已知。M： x2+y2-2x-2y-2=0f 直线/： 2x+y+2=0, P为/上的动点,过点P作。M的切线以，PB,切点为A, B,当IPMM8I最小时，直线A8的方程为()解析 OM：(犬一1)2+。- 1)2=4,则圆心0M的半径为2.如图，由题意可知PMJ_A8,S四边形抬= PA-AM=2PA,：.PM-AB=4PA=4/|PM|2-4.当|PM|H3|最小时,|PM|最小,此时尸A/JL/.故直线PM的方程为y-1),即 x2y+l=0.x2y+1 =

12、0,x= 1,由4得，2x+y+2=0,y=0,P(l,0).又,直线工=-1,即雨与。M相切，轴，MIMA,(一 1).又直线A8与/平行，设直线AB的方程为2x+y+?=0(m#2),将A(1,1)的坐标代入2x+y+/=(),得加=1.J直线A8的方程为2x+y+1 =0.规律方法直线与圆相切问题的解题策略直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立关于切线斜率的等式，所以求切线方程时主要选择点斜式.过圆外一点求解切线段长的问题，可先求出圆心到圆外点的距离，再结合半径利用勾股定理计算.跟踪演练3 (1)已知点M是抛物线V=2x上的动点，以点M为圆心的圆被y轴

13、截得的弦长为8,则该圆被x轴截得的弦长的最小值为()A. 1() B. 44 C. 8 D. 2行答案D解析设圆心遥，而户=(苧+(1)2=苧+16;圆M与x轴交于A, B两点、,|AB|=212一出=?+164=44 ?代入点(1,2)可得=1,解得 =1, 方程为Xy+l=0,故所求直线方程为2xy=0或yx=.2.若直线x+(l +?)y2=0与直线mx+2y+4=0平行，则m的值是() A. 1 B. -2 C. 1 或一2 D. 一弓+64=aJ(22)2+6060=215.(2)若圆x2+y2=4与圆x2+)，+4x+2ay9=0(a0)相交,公共弦的长为2吸,则a=答案嘤解析联立两圆方程必+尸=4,x2+y2+ax+2ay9=0,可得公共弦所在直线方程为ax+2ay-5=0t故圆心(0,0)到直线ax+2ay-5=0的距离为-Ju=Ao).ya2+4a2 a故 2y22一第2=25 解得 =|,因为公0,所以a=呼.专题强化练一、单项选择题1.过点A(l,2)的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为()A. y-x= 1B. y+x=3C. 2xy=0 或 x+y=3D. 2xy=0 或厂x= 1答案D解析 当直线过原点时，可得斜率为汽=2,1 ()故直线方程为y=2xt即2x-y=0t当直线不过原点时，设方程为?+上=1,ci a答案A解析