专题3 第4讲数列中的奇、偶项问题.docx

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1、第4讲数列中的奇、偶项问题数列中的奇、偶项问题是对一个数列分成两个新数列进行单独研究，利用新数列的特征(等差、等比数列或其他特征)求解原数列.例 已知数列满足 0 = 1,。2=；，3 + (1)%+22斯+令儿=S,i，判断5是否为等差数列，并求数列的通项公式；(2)记数列的前2n项和为求T2n.解 因为3 + (1)如+22为+2(1)-1=0,所以3 + (1)2他+1 2。2-1 + 2(-1)2-1 = 0,即。2+1 。2-1=2,又仇所以 E+1。“ = 2+|一-1=2,所以儿是以=0 = 1为首项，2为公差的等差数列，所以勿=l+(-l)X2 = 2-l, neN对于3 +

2、(1)如+2-2如+2(1)- l=0,当为偶数时，可得(3+1)。+22%+2(1 1) = 0,即等4 所以2,。4, 6,是以。2v为首项，聂公比的等比数列；当“为奇数时，可得(32斯+ 2(1 1) = 0,即。+2 斯=2,所以。1,的，。5，是以0 = 1为首项，2为公差的等差数列，所以公”=(。 + a3 HH。2,?-1)+(。2+a4 HF 做) I=/?Xl+-/?(-l)X2j+L1-2=/?2+1 - 2,能力提升-(1)数列中的奇、偶项问题的常见题型数列中连续两项和或积的问题(。+。+=/5)或必+1=佝)；含有(一1)的类型；含有仇，如-1的类型;已知条件明确的奇偶

3、项问题.(2)对于通项公式分奇、偶不同的数列斯求S时，我们可以分别求出奇数项的和与偶数项的和，也可以把2A-l+2人看作一项，求出S2&,再求S?&-1=S2 。跟踪演练1 .数列斯的通项公式为斯=(-1)(4-3),则它的前10()项之和Soo等于(A. 200 B. -200 C. 400 D. -400答案B解析 Sioo=(4X1-3)-(4X2-3) + (4X3-3)(4X 1003)=4X(1 2)+(34)+ (99-100)=4 X ( 50) = 200.2 .已知数列斯的前n项和S = (1)小 若对任意的正整数，使得(即-p)0恒成立，则实数的取值范围是.答案(一1,3

4、)解析当 =1 时，ai = S = ；当 时，“=S一Si=(一 1)，一(-1)门(-1) = (一1)(2九一 1).因为对任意的正整数/?,(即+ip)(斯-p)0恒成立，所以(一 1)内(2 + 1)一皿(一 1)(2- l)p0.当是正奇数时，化为p(2+l)p+(2-l)0,解得 1 2p2 +1,因为对任意的正奇数都成立，取 =1时，可得一lp3.当是正偶数时，化为p(2-l)p+(l+2)0,解得一1 2 vp2 - 1,因为对任意的正偶数都成立，取=2时，13,解得Tp3.联立可得一5p3.- 5p3,所以实数的取值范围是(一1,3).3 .在数列。中，已知0 = 1,小幻

5、+1 =(，记S为斯的前项和，b=ci2n+a2n-,判断数列儿是否为等比数列，并写出其通项公式；求数列斯的通项公式；求5,解(1)因为如s+ i=Q)，所以斯+1为+2 =所以=29 艮P +2 =手.IS 为人 =。2 +。2/】1,1 . 1所以b+】d+2 +。2”声十乎27b Cl2n +。2一 1+。2/l一 I 2所以数列儿是公比为3的等比数列.玄金N*.、113、3因为 41 = 1, 0。2=所以。2 = /, 1=。|+。2 = /, 所以 = 1X(2)由(1)可知%+2=%，所以S是以。| = 1为首项，J为公比的等比数列；。2。4,。6,是以2=3为首项，；为公比的等比数列,所以-1 =nClin，为奇数,为偶数.2、L (A(3)因为 S2=(“i+a3HFs” 1) + (。2+。4HH2)=+1-2314又 2-1 S2n - Cl2n 3 一一安i 3 一33-二，为偶数，所以Sn=2243为奇数.H+12-