《线性代数》 试卷及答案 共5套.docx

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1、第一套模拟题一、填空题(将正确的答案填在横线上)(每小题3分，总计18分)1031002041.计算3阶行列式199200395=-3013006002 .设A为三阶方阵,且IAb-2,则+GA)，=.3 .设阶方阵A满足关系式A2+2A+3E=0,则AT二.4 .直线斗I=等二彳与平面+2y+2z-6=0的交点为.5 .已知4阶方阵A=(a1,a2,a3,a4),且R(A)=2,若+2-2a3+34=。，a1-234=Z?,四+202-43+a4=，则非齐次线性方程组斗工=的通解为.6 .设三阶方阵A满足IE-AI=I3E+2AH2七+AI=0,则A的特征值为.二、单项选择题(将正确的选项填

2、在括号内)(每小题3分，总计18分)1.下列命题中，正确的是().(A)如果矩阵AB=E,那么A可逆，且4一|=8；(B)如果阶方阵A,8均可逆，那么A+6必可逆;(C)如果阶方阵4,010)100、2.己知三阶方阵6=100,P?=01010。1,J08均不可逆，那么A+3必不可逆;(D)如果阶方阵4,8均不可逆，那么48必不可逆.a21a22a23B=123，则必有()./31+即a32+a2a2,3+13；(A)AP,P1=B(C)PxP2A=B,(B)P2P1=B；(D)A=B.3.设向量组,4/线性无关，向量组/夕线性相关，则(A)必可由线性表示；(B)夕必不可由a,y线性表示；(C

3、)S必可由,/,7线性表示；(D)K必不可由,/,y线性表示.4.设有向量组%=(1,7,2,4),2=(0,3,1,2),a3=(3,0,7,14),a4=(1,-2,2,0),a5=(2,1,5,10),则该向量组极大无关组是().()a1,a2,3；(B)1,a2,a4；(C)a1,a2,6z5；(D)aa2,a4,a5.5 .设A是2矩阵，6是Xm矩阵,则线性方程组(A6)x=O().(A)当鹿机时,仅有零解；(B)当加时，必有非零解；(C)当相时,仅有零解；(D)当相时，必有非零解.6 .设A为阶可逆矩阵，;1是A的一个特征值,则A的伴随矩阵A*的特征值之一是().(A)QIA|；(

4、B)2,IA|；(C)A;(D)AXa1a2%么IOo为0200030、0,矩阵3=P-AP,其中P为三阶可逆矩阵，求1;三、解答下列各题(每小题10分，总计50分)1 .计算4阶行列式：D=仅-12 .已知矩阵A=10B0B2008-2A2.子空间为叱=卜=x1-x2+x3-x4=k1工3x4J1B2=,求叫+吗与叱W2的基与维数.3J13 .设产？的两个(1W2=span综层,4=x1+2x2-2x3=1,4 .设3阶方阵B(R(8)2)的每一个列向量均是方程组上玉一起+疝3=2,3x+x2-x3=3的解，(D求/1;(2)设A为此线性方程组的系数矩阵，求(A3)”.22-2、5 .若三阶

5、方阵A=25-4,求一个正交阵T,使TTAr为对角阵.2-45)四、证明题(每小题7分，总计14分)1 .已知A是mX矩阵，8是XP矩阵，如果AB=O,且R(B)=，证明矩阵A=O.2 .若向量/可由,%，4线性表示,且表法唯一,证明%,%，见线性无关.第一套模拟题答案一、1.2000；2.108；3.-(A+2E);4.(2,1,1)；35.X=占(1,1,-2,3)7+七(，-31,2)7+(1,-1,0,3)7;6.1,一一-2.2二、1.D；2.C；3.C；4.B：5.D；6.B.0OY-I三、1解:2.解:0、0110分A4=A2A2J10-10。100、-10。10、0bB2008

6、=(P-,AP)(P-,AP)(P,AP)=P,A(PP-,)A(PP-1)APPTA2008P=P1(A4)502P=E,3.B2008-2A2解：可取0I0-100111023，2=1-101)00)1I00)(30010-20-10=030。JbUS0-1J0210分、x)T000,4=0100001010201、-101乍为子空间”的一组基，则,故dim（W；+叱）=4,它的一组基1,A2,3,2dimWJ=3,dimW=2,dim(W；吗)=1,它的基为用10分4.解：（1）由于3阶方阵B（B至少有两列不相同）的每一个列向量都是方程组的解,即方程组的解不唯一，则12-2IAI=2-1

7、2=5(-1)=0,31-1解得;I=1(1、2(111).(1AB=AC*24)=(A4)=2221333)5.解：因为A的特征多项式为24=(-1)2(-10),2-52=/I3=122E-A=-2-524于是4的特征值为4=10，对于4=10，解方程组(IOE-A)X=O得基础解系为X=(12-2)7,对于2=23=1,解方程组(E-A)X=O得基础解系为=(-2,1,0)1石=(2,()，1)、利用施密特正交化方法对与，X3正交化令_C)=f24乙36&卢,5J再对M/2,么单位化，得彷=M=I12J,33%-_-PrJ,),f245)T%T3N2-忑记丁=(1，%，3)=23_2C3

8、150435535;,则T为正交阵且满足r10、TiAT=110分b四、证明：1因为AB=0,所以R(A)+R(8)7,又R(B)=n,所以R(A)=O,即A=O7分2.向量/可由,%,，见线性表示，且表示方法唯一，所以(,%，见)工二/有解且解唯一.则R(,%，4)=R(%,%，&，夕)=S，那么%,%，氏线性无关7分第二套模拟题一、填空题(将正确的答案填在横线上)(每小题4分，总计32分)(1001 .设A=0Y1%,A*是A的伴随矩阵，贝IJ(A*)7=.、。1%,2 .过点(1,-1,2)且垂直于直线出=A2=白的平面为.2-233 .设维向量=(,(),0,)7Ar=O的基础解系的充

9、要条件是.则A的伴随矩阵At=8.设矩阵A=2、4;A11+A12+A21+A22=.其中Aij为元素j的代数余子式.二、计算题(每小题8分，总计40分)1 .求某多项式空间中基1X,/,V到基1x-I,IR(X-Ip的过渡矩阵；并求元素2x3-x+5在这两组基下的坐标。2 .已知4阶方阵人二(。,。2，。3，。4)，且R(A)=2,若2+。2-2。3+3。4=，a1-a2+3a4=c+Ia2-ay+a4=h,求线性方程组Ax=b的通解.3.己知三阶方阵A的特征值为1,一1,一4,求IA*+2A-3EI.24 .化二次型/(i,x2,x3)=x12-3x2+4x；-2x1x2+2再当一6%2x

10、3为标准形5 .判断二次型/（%,%2，/）=4工：+4W+%3+2xjx2+4xix3+4七是否正定三、解答下列各题（每小题11分，总计22分），1-11)200、1.设矩阵A与8相似，且A=24-2,B=020,、一3-3J、00b)（1）求。力的值.（2）求可逆矩阵P,使PTAP=3.4O0、2.设A=1a0八=01a001,（1）计算行列式IA1.（2）当实数。为何值时，方程组AX=/有无穷多解，并求其通解.四、证明题（每小题6分，总计6分）设A为阶正交矩阵,证明矩阵A的伴随矩阵为正交矩阵.第二套模拟题答案一、填空题（每小题4分，总计32分）r-400、1.026:2.2,x2,y3z

11、10=（）；3.-1；4.、0-4-10二、计算题（每小题8分，总计40分）-11-1、1-2301-3001；1.解：(1,X1,(X1)2,(x1)3)=(1,X,f,3)01-ii-P01-23所以过度矩阵为nn1，UU1J、0001,2xi-x+5在基1,x,x2,x3下坐标为(5,-1,0,2)7.2x3-x+5在基1,X-1,(冗-1)?,(%-1)25下坐标为001-3000130WO01j1k2j001Jv2,2.解：因为c+a2-2%+3。4=。，所以95628分=(1,1,-2,3)7是AX=O的解，又ax-a2+3a4=b,所以7二(1,-1,0,3),是AX=Z?的解，

12、由%+2%-%+%=b,所以%=(1,2,-1,1)7是AX=人的解，所以星=彷一%=(,-3,1,2)7是AX=O的解,且白g2线性无关，而AX=O的解空间是2维的，所以占刍+&$+7是AX=/的解.8分3 .解：因为A的特征值为1,-4,所以IA1=2,故A可逆，2所以A*=|AA-=2A,.23进而A*+2A-3E=2A-1+2A-3E的特征值为1-8,-,2所以IA*+2A3E=92.8分4 .解：f(x1,x2yX3)=x12-32+4x；-2x1x2+2x1x3-6x2x3=(Xi-x2+x3)2-4无；+3xj-4x2x3=(X1x2X3)2-4*2+%工3)2+4君，yi=WX3令,y2=r2+%r3，所以/(弘，力，为)二才一4货+4员.