2023-2024学年人教B版选择性必修第一册 2-3-1 圆的标准方程 学案.docx

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1、2.3圆及其方程2. 3.1圆的标准方程新课程标准解读核心素养回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程直观想象、数学运算在读I教I材知识梳理6以本为本抓双基独情境导入“南昌之星”摩天轮是目前世界上第二高的摩天轮，它位于江西省南昌市红谷滩新区红角洲箍江边上的赣江市民公园，是南昌市标志性建筑.该摩天轮总高度为160米，转盘直径为153米，比位于英国泰唔士河边的135米高的“伦敦之眼”摩天轮还要高.问题1(1)游客在摩天轮转动过程中离摩天轮中心的距离一样吗？(2)若以摩天轮中心所在位置为原点，建立平面直角坐标系，游客在任一点(X,)，)的坐标满足什么关系？町新知初探知识点圆的

2、标准方程1 .圆的定义：平面内到定点的距离等于定二氐的点的集合叫作圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径.2 .确定圆的要素是圆心和主也，如图所示.3 .圆的标准方程：圆心为A(,b)t半径长为r的圆的标准方程是(xaA+(y勿2=户.当=b=0时，方程为f+y2=E表示以原点为圆心、半径为r的圆.的想一想若点P(M),非)在圆C：(x。/+。，-6)2=2上，需要满足(M)2+0o-力)2=/，那么P在圆C内和圆C外又满足怎样的关系？提示：若点P在圆。内，则有(XO)2+(yo-b)2f2.每做一做1 .点(1,1)在圆Q-)2+(y+)2=4的内部，则的取值范围是()A.11B.aIC.以解析

3、：A点(1,1)在圆(%。)2+。+。)2=4的内部，(1)2+(1+)24,解得一1+。-6)2=r2(0),有(x+2)2+(y-1)2=产，再将点A(2,2)代入方程有r2=(2+2+(-21)2=52.从而圆的方程为(x+2)2+(y-1)2=25.(2)法一(待定系数法)：设圆的标准方程为(xa)?+。-b)2=r2,a2b2=r2,PZ=4,则有I(-1)2+(I)2=凡解得,=一3,-2+3A+1=0,r=5.圆的标准方程是(x4)2+(y+3)2=25法二(几何法)：由题意知OP是圆的弦，其垂直平分线为x+y1=0.弦的垂直平分线过圆心，产O,fx=4,x+y-1=0卜=.3,

4、即圆心坐标为(4,-3),半径z=42+(3)2=5.*.圆的标准方程是(x4)2+(y+3)2=25.I通性通法I求圆的标准方程的方法确定圆的标准方程就是设法确定圆心C(afb)及半径r,其求解的方法：一是待定系数法，建立关于凡btr的方程组，进而求得圆的方程：二是借助圆的几何性质直接求得圆心坐标和半径.一般地，在解决有关圆的问题时，有时利用圆的几何性质作转化较为简捷.Z跟踪训练1 .以两点A(-3,-1)和8(5,5)为直径端点的圆的方程是()A. (X-I)2+()，-2)2=10B. (-1)2+(y-2)2=25C. (11)2+0，-2)2=5D. (1I)2+()，-2)2=10

5、0解析：B由题意可得，圆心为线段AB的中点C(1,2),半径为=3aB=T西币=5,故要求的圆的方程为(x1)2+(y-2)2=25,故选B.2 .在平面直角坐标系中，已知点A(4,2)是RtZO4B的直角顶点，点O是坐标原点，点B在X轴上，则AOAB的外接圆的方程是.201解析：A(-4,2)是RtZOA8的直角顶点，.OA1A8,又如八=一5，以s=2,.直线AB的方程为y-2=2(x+4),.8(5,0).YZXOAB的外接圆是以线段OB的中点为圆心，/。B1长为半径的圆，又08的中点坐标为(一|,0),*0阴=|,所求外接圆的方程是G+f+y2=至答案：+S+)=竽题型二点与圆的位置关

6、系【例2(健按教科书第106页练习A3题)已知圆N的标准方程为(X5产+6，-6)2=a2(a0).(1)若点M(6,9)在圆上，求的值:(2)已知点P(3,3)和点Q(5,3),线段PQ(不含端点)与圆N有且只有一个公共点，求的取值范围.解(1)因为点M在圆上，所以(6-5+(96)2=2,又0,可得=4而.(2)由两点间距离公式可得，IPN=(3-5)2+(3-6)2=13,QN=(5-5)2(3-6)2=3.因为线段PQ(不含端点)与圆有且只有一个公共点，即P,Q两点一个在圆N内，另一个在圆N外，又3V行，所以3VV方.即。的取值范围是(3,13).I通性通法I判断点与圆的位置关系的方法

7、(1)确定圆的方程：化为(-0)2+G，一万)2=/；(2)将点的坐标(X0,泗)代入代数式(4a)?+。，一匕)2,比较代数式的值与3的大小关系：(3)下结论：若(XO)2+(yo-b)2=,2,表示点在圆上：若(M)-。+。，。一/?)?/2,表示点在圆外；若(Xo-)2+(yo-b)2,时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当dvr时，点在圆内.Z跟踪训练若点(4。-1,3+2)不在圆(x+1)2+02)2=25的外部，则。的取值范围是()A.一坐B.1aW25,解得2W1,.0W1,即一IWaW1故选D.题型三圆的方程的应用例3为了开发古城旅游观光，某市决定在护城河上建一座圆形拱桥，河面

8、跨度AB为32米，拱桥顶点C离河面8米.(1)如果以跨度AB所在直线为JV轴，以AB中垂线为y轴建立如图所示的直角坐标系，试求出该圆形拱桥所在圆的方程；(2)现有游船船宽8米，船顶离水面7米，为保证安全，要求行船顶部与拱桥顶部的竖直方向高度差至少要0.5米.问这条船能否顺利通过这座拱桥，并说出理由.解(1)6(16,0),C(0,8),设圆心(0,b),圆的方程为f+(y-b)2=产,(8b)2=r2,由圆过点8、。可得，解得b=-12,r=20,256+6=产，所以拱桥所在圆的方程是/+(y+12)2=400.(2)可设船右上角竖直方向0.5米处点为尸(4,7.5),代入圆方程左端得396.

9、25V400,所以点P在圆内，故船可以通过.I通性通法I坐标法解决此类问题的“三步曲”这色适*的平面K角电标系.用电标和方建系径表示问题中的几何元京，将面几何用题纣化为代敝问给J-I通过代盘达发代m彳结论I化代粒达小站Jir4译”或凡何站论:。跟踪训练如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图.这个圆的圆拱跨度AB=20m,拱高OP=4m,建造时每间隔4m需要用一根支柱支撑，求支柱A2P2的高度(精确到0.01m).解：建立如图所示的平面直角坐标系，使圆心在)，轴上.设圆心的坐标是(O,b),圆的半径是r,那么圆的方程是b)2=2.因为P,B都在圆上，所以它们的坐标(0,4),(10,0)都满足方程r+

10、。一8A=产.于是,得到方程组O2+(4-6)2=产,IO2+(Of)2=产,解得b=-10.5,户=14.52.所以圆的方程是/+&+10.5)2=14.52.把点P2的横坐标X=-2代入圆的方程，得(-2)2+(j10.5)2=14.52,即y+10.5=14.52-(-2)2(P2的纵坐标y0,平方根取正值).所以y=14.52-(-2)2-10.514.36-10.5=3.86(m).故支柱A2P2的高度约为3.86m.回随堂检测1 .圆心为(一1,0),半径为5的圆的方程是()A.(x1)2+y2=5B.(x+1)2+j2=25C.(-1)2+r=5D.(-1)2+j2=25解析：B

11、因为圆心为(一1,0),半径为5,则圆的方程是+1)2+y2=25.故选B.2 .点P(a,10)与圆I)?+。，-1)2=2的位置关系是()A.在圆内B.在圆上C.在圆外D.不确定解析：C(“-1)2+(101)2=81+31)22,.点尸在圆外.3 .若直线y=r+力经过第一、二、三象限,则圆C(x+o)2+(y+b)2=1的圆心位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析：C因为直线y=at+6经过第一、二、三象限，所以40,历。因为圆C:(X+)2+(y+b=1的圆心为(一a-b)t所以圆心位于第三象限，故选C.4 .(多选)己知圆的方程是(x2)2+(y-3)2=4,则下列坐标表示点在圆外的有()A.(一3,2)B.(3,2)C.(1,4)D.(1,1)解析：AD选项A,中(一3-2+(2-3)2=264在圆外;选项B中，(3-2)2+(2-3)2=2v4在圆内；选项C中，(1-2+(4-3)2=2v4在圆内；选项D中，(1-2)2+(1-3)2=54在圆外.故选A、D.5 .点(1,1)在圆+2+y=机上，则圆的方程是.解析：点(1,1)在圆(x+2)2+y=m上，故(1+2)2+1=w.m=10,即圆的方程为(X+2)2+=10.答案：(x2)2+=10