2023-2024学年人教B版选择性必修第一册 2-4 曲线与方程 学案.docx

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1、2.4曲线与方程新课程标准解读核心素养1.结合已学过的曲线及其方程的实例，了解曲线与方程的对应关系数学抽象2.通过具体实例理解“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念直观想象R读I教I材知识梳理以本为本抓双基防情境导入笛卡尔是被誉为“近代科学的始祖”“近代哲学之父”，是17世纪的欧洲哲学界和科学界最有影响的巨匠之一，他在哲学、数学、物理学、天文学、心理学、神学等方面都有研究且成就颇高.其中有一个很有名的故事，笛卡尔给他的恋人写的一封信内容只有短短的一个公式：r=(I-Sin).你知道这是何意？其实这就是笛卡尔的爱心函数，图形是心形线(如图所示)，是一个圆上的固定一点在它绕着与其相切且半径相同的另外

2、一个圆周滚动时所形成的轨迹，因其形状像心形而得名.问题你能举例说出条曲线和它对应的方程有怎样的关系吗？町新知初探知识点曲线与方程1 .曲线的方程、方程的曲线在平面直角坐标系中，如果曲线C与方程尸a,)，)=o之间具有如下关系:(1)曲线C上的点的坐标都是方程尸a,y)=0的解；(2)以方程尸a，y)=0的解为坐标的点都在曲线C上.则称曲线C为方程尸(X,y)=0的曲线，方程尸(x,y)=0为曲线C的方程.2 .求曲线的方程的步骤口想一想1 .从集合角度怎样理解曲线与方程的关系？提示：设A是曲线C上的所有点组成的点集，8是所有以方程尸a,y)=o的实数解为坐标的点组成的点集，那么集合A与集合8具

3、有一一对应关系.即A中任一元素在8中都有唯个元素与之对应，并且8中任一元素在A中都有唯个元素与之对应.2 .怎样判断曲线产a，y)=0与G(x,y)=0是否有交点？F(x,y)=0,提示：转化为方程组、八是否有实数解.G(x,y)=0侈做一做1.方程(3xy+1)(y-x2)=0表示的曲线为()A.两条线段B.一条直线和半个圆C.一条线段和半个圆D.一条射线和半个圆解析：C由1220,解得一1WXW1因为(3xy+1)(y-d7二？)=0,所以3xy+1=0或y=、1X2.故3xy+1=0表示一条线段,因为y=1-2,所以2+2=1,y20,即y=)表示以原点为圆心的半个圆.故选C.2.平面直

4、角坐标平面内到两坐标轴距离之差等于1的点的轨迹方程是()A.W-M=IB.xy=C.IM-MI=ID.xy=解析：C设点的坐标为(x,y),由题意可知，平面直角坐标平面内到两坐标轴距离之差等于1的点的轨迹方程是IM一|训=1,故选C.3.曲线*+y2+2x=0与曲线y+*=0的交点个数是解析：由研I题I型典例精析A-学用结合通技法题型一曲线与方程关系的应用例1(琏接敌科书第124页例1)分析下列曲线上的点与相应方程的关系：(1)过点A(2,0)平行于)，轴的直线与方程IX1=2之间的关系；(2)与两坐标轴的距离的积等于5的点与方程孙=5之间的关系；(3)第二、四象限两轴夹角平分线上的点与方程x

5、+y=0之间的关系.解(1)过点A(2,0)平行于)，轴的直线上的点的坐标都是方程园=2的解；但以方程W=2的解为坐标的点不一定都在过点A(2,0)且平行于y轴的直线上.因此，国=2不是过点A(2,0)平行于y轴的直线的方程.(2)与两坐标轴的距离的积等于5的点的坐标不一定满足方程个=5；但以方程盯=5的解为坐标的点与两坐标轴的距离之积一定等于5.因此，与两坐标轴的距离的积等于5的点的轨迹方程不是xy=5.(3)第二、四象限两轴夹角平分线上的点的坐标都满足x+y=0;反之，以方程x+y=0的解为坐标的点都在第二、四象限两轴夹角的平分线上.因此，第二、四象限两轴夹角平分线上的点的轨迹方程是j+y

6、=O.I通性通法I判定曲线和方程的对应关系的策略(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解，即直观地说“点不比解多”，称为纯粹性：(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，即直观地说“解不比点多”，称为完备性.注意只有点和解一一对应，才能说曲线是方程的曲线，方程是曲线的方程.Z跟踪训练1 .方程1+y2=I(X.y0)表示的曲线是()解析：D因为x2+j2=1表示圆心在原点，半径为1的圆，又孙0,说明图像在二、四象限，故选D.2 .已知条件甲：曲线C是方程式-y)=0的曲线，条件乙：曲线C上的点的坐标都是方程Kt,y)=0的解，则甲是乙的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不

7、充分也不必要条件解析：A因为若曲线是方程外，),)=0的曲线，则曲线上的点的坐标都是方程/，y)=0的根；但若曲线上的点的坐标都是方程/U,y)=0的根，曲线不一定是方程兀t,y)=0的曲线.故甲是乙的充分不必要条件.故选A.题型二由方程研究曲线的性质【例2数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：X2厂片、+V=1+园丁就是其中之一(如图).给出下列三个结论：(),曲线C上任意一点到原点的距离都不超过也；j曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3；曲线C恰好经过6个整点(即横、纵坐标均为整数的点).其中，所有正确结论的序号是()A.B.C.D.解析因为f+V=1+My1+xy1+Wk,所以

8、f+y22,产#2、故曲线C上任意一点到原点的距离都不超过啦，正确；当X=O时，yJ-T-J=1,当x=1时，y=0或1,故曲线过(0,1),(0,-1),(1,0),(1,弋修1),(-1,0),(1,1)6个整数点，正确；当把曲线的6个整数点连接后，可求出矩形加三角形的面积和为3,显然曲线面积大于3,故错误.答案BI通性通法I讨论曲线的几何性质一般包括以下几个方面(1)研究曲线的组成和范围，即看一下所求的曲线是由哪一些基本的曲线组成的，在某些情况下可以根据方程求得方程所表示曲线的大致范围；(2)研究曲线与坐标轴是否相交，如果相交，求出交点的坐标，因为曲线与坐标轴的交点是确定曲线位置的关键点

9、：(3)研究曲线的对称性(关于X轴、y轴、原点)；(4)研究曲线的变化趋势，即丁随X的增大或减小的变化情况：(5)根据方程画出曲线的大致形状，在画曲线时，可充分利用曲线的对称性，通过列表、描点的方法先画出曲线在一个象限的图像，然后根据对称性画出整条曲线.闭跟踪训练y(多选)如图A(2,O),B(1,1),C(-1,1),D(-2,0),是以二、0。为直径的圆上一段圆弧，CB是以BC为直径的圆上一段圆弧，BA-Hir是以QA为直径的圆上一段圆弧，三段弧构成曲线见则下述正确的是()A.曲线W与X轴围成的面积等于2丸B.曲线W上有5个整点(横纵坐标均为整数的点)C.a所在圆的方程为X2+0-1)2=

10、11),半径为1,故圆的方程为+。一1)2=1,C正确；设与赢的公切线方程为y=x+瓦根据图像知A=2+1,即x+y=也+1,D正确；故选B、C、D.题型三求曲线方程角度一直接法求曲线方程例3(旌接教科书第126页例3)已知圆C：x2+(y-3)2=9,过原点作圆C的弦OP,求OP的中点。的轨迹方程.解如图所示，连接QC,因为Q是OP的中点，所以NoQC=90。.设Q(,y)，由题意，得oq2+qc2=oc2,即x2+x2+-3)2=9,所以OP的中点。的轨迹方程为f+Q号-=/去掉原点).I通性通法I直接法求轨迹方程的2种常见类型及解题策略直接法求轨迹方程，就是设出动点的坐标y)f然后根据题

11、目中的等量关系列出x,y之间的关系并化简.主要有以下两类常见题型：(1)题目给出等量关系，求轨迹方程，可直接代入即可得出方程：(2)题中未明确给出等量关系，求轨迹方程.可利用已知条件寻找等量关系，得出方程.注意求出曲线的方程后要注意验证方程的纯粹性和完备性.Z跟踪训练已知点A(-4,0),B(-1,0),动点M(x,y)满足IMAI=2则动点M轨迹方程为()A.x2y2=4B.，+)?=1C.x25=1D.y2=4x解析：AV(x,y)9A(-4,O),B(1,0),MA=(x+4)2y2,IMB1=(x+1)2+y2,又动点M(x,y)满足M=2M6,(+4)2+=2(x+1)2+y2t两边

12、平方后可得f+8x+16+y2=4f+8x+4+4y2,整理后可得f+y2=4,故选A.角度二代入法求曲线方程【例4】已知动点M在曲线/+)2=1上移动，M和定点8(3,0)连线的中点为P,求P点的轨迹方程.解设P(x,y)fM(xot州)，.P为MB的中点.(xo+3JX=2xo=2-3,V即Ov-1Qbo=2y,U2，又.M在曲线x2+y2=1上，(2-3)2+4y2=1,P点的轨迹方程为(2-3)2+4f=1.鼠母题探究1.(变条件)本例中把条件“M和定点8(3,0)连线的中点为P”改为=2M”,求P点的轨迹方程.解：设P(x,y),M(Xo,州),则Mb=(-o,y一州)，PB=(3-

13、Xt-y)f由丽k=2T得,J-xo=(3x)y-yo=-2yt2,=3x-6,即又TM在曲线f+y2=1上,Uo=3y,(3-6)2+9/=1,点P的轨迹方程为(3-6)2+9y2=1.2.(变条件)本例中把条件“M和定点8(3,0)连线的中点为P”改为“一动点P和定点8(3,0)连线的中点为AT,试求动点P的轨迹方程.解：设P(x,y),M(xot州)，.M为P8的中点.x+3Xo=-2-,又在曲线f+y2=1上，和哆+(3=1即(x+3+)t2=4,P点轨迹方程为(x+3)2+y2=4.I通性通法I代入法求解曲线方程的步骤(1)设动点P(A,y)t相关动点Ma0,yo):(2)利用条件求

14、出两动点坐标之间的关系Xq-f(,y),yo=g(%，)；(3)代入相关动点的轨迹方程；(4)化简、整理,得所求轨迹方程.因随堂检测1 .下列四个图形中，图形下面的方程是图形中曲线的方程的是()解析：D对于A,点(0,1)满足方程，但不在曲线上，排除A；对于B,点(1,-1)满足方程，但不在曲线上，排除B；对于C,曲线上第三象限的点，由于xVO,yO,不满足方程，排除C,故选D.2 .若M(1,2)在曲线/+)2=2上，则。的值为()A.1B.4C.ID.3解析：A因为M(1,2)在曲线f+y2=2上，代入曲线方程可得=*3.方程E+(j+2)2=0表示的图形是()A.圆B.两条直线C.一个点D.两个点-2=0,fx=2,解析：C由已知得ICA即C所以方程表示点(2,2).故选C.b+2=0,Iy=-2.4.(多选)方程(x+y)=1所表示的曲线()A.关于原点对称B.关于直线y=x对称C.与直线X=-I没有交点D.不经过第三象限解析：BCD在曲线