2023-2024学年人教B版选择性必修第一册 2-3-2 圆的一般方程 学案.docx

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1、2.3.2圆的一般方程新课程标准解读核心素养同顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的一般方程直观想象、数学运算C读I教I材知识梳理以本为本抓双基情境导入在上一节，我们已经知道圆的标准方程为(x+(y-b)2=r2.问题如果把圆的标准方程。一42+。一与2=产中的括号展开、整理之后，得到的方程形式是什么样的？是否所有圆的方程都能化成这种形式？啦新知初探知识点圆的一般方程1 .圆的一般方程的概念当2+/2一4户0时,二元二次方程2+y2+Q+Ey+尸=0叫作圆的一般方程.2 .圆的一般方程对应的圆心和半径圆的一般方程W+y2+Dr+Ey+尸=O(Q2+E2-4Q0)表示的圆的圆心为

2、(二景二号，半径长为Ib2+E2-4F.给想一想1 .圆的标准方程与圆的一般方程有什么不同？提示：圆的一般方程是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显.圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征明显.2 .求圆的一般方程实质上是求圆的一般方程中的哪些量？提示：只要求出一般方程中的。，E,尸，圆的方程就确定了.3 .所有二元二次方程均表示圆吗？提示：不是，Af+Bry+Cy2+f+Ey+F=o,只有在A=CNo,8=0且D2+E2-4A产0时才表示圆.侈做一做1 .圆x2+y2-4x+6y=0的圆心坐标是()A.(2,3)B.(-2,3)C.(-2,-3)D.(2,-3)解析：D圆+y24x

3、+6y=0的圆心坐标为(一下,一。即(2,3).2 .若方程f+y2x+y+zw=O表示一个圆，则实数的取值范围是()A.B.mxC.rn0得(一I/一.。，解得TWV去故选A.3.已知圆C的圆心为。(一2,1),面积为12兀，则圆C的一般方程为.解析：因为圆C的面积为12兀，所以由几户=12元，即7=12,所以圆C的标准方程为(x+2)2+G-1)2=12,即圆。的一般方程为f+y2+4-2y-7=0.答案：x2+y2+4-2y7=0位研I题I型典例精析A-学用结合通技法题型一圆的一般方程的辨析【例1】(徒接教科书第109页例2)若方程2+y2+21V-2)+尸+5M=0表示圆，求：(1)实

4、数?的取值范围；(2)圆心坐标和半径.解(1)据题意知D2+E2-4尸=(2m)2+(2)24(户+5加)0,即4m244m2-20m0,解得MV故小的取值范围为(一8,(2)将方程2y22mx2yfn25w=0写成标准方程为(X+炉+。,一)2=5w,故圆心坐标为(一如1),半径r=1-5九I通性通法I判断二元二次方程与圆的关系时，一般先看这个方程是否具备圆的一般方程的特征，当它具备圆的一般方程的特征时，再看它能否表示圆.此时有两种途径：一是看D2+E2-4F是否大于零：二是直接配方变形，看方程等号右端是否为大于零的常数.跟踪训练1.(多选)若x2+y2-+y-2帆=0是一个圆的方程，则实数

5、小可取的值有()A.-ZB.OC.1D.2解析：BCD由题意得。2+-4产=(-1)2+12-4乂(-2闭)0,解得加一.故选8、C、D.2.已知圆的方程为x2+y2履一25一3=0,则当该圆面积最小时，圆心的坐标为解析：依题意，圆的方程可化为(工一电一+0一I)?=竽+1,于是得该圆圆心修，I),半径1因此，该圆面积S=冗借+1)2口，当且仅当k=0时取“=”，所以当该圆面积最小时，圆心的坐标为(0,1).答案：(0，1)题型二求圆的一般方程【例2】(言接教科书第107页例I)(I)已知AABC顶点的坐标为44,3),8(5,2),C(1,0),求aABC外接圆的方程；(2)已知一圆过P(4

6、,-2),Q(1,3)两点，且在y轴上截得的线段长为45,求圆的方程.解(1)设所求圆的方程为2+j2+OX+Ey+/=0.点A,B,。在所求的圆上，故有4O+3E+尸+25=0,D=-6,-+3)2=1B.(-4)2+(y-3)2=49C.(x+4)2+-3)2=1D.(x+4)2+(-+3)2=49解析：A圆C的标准方程为(x+3)2+(y-4)2=1,圆C圆心为(一3,4),半径为1,故所求圆的圆心坐标为(4,-3),半径为1,因此所求圆的方程为(x4)2+(y+3)2=1.故选A.题型三与圆有关的轨迹方程【例3】设定点M(-3,4),动点N在圆x2+y2=4上运动，以OM,ON为两边作

7、平行四边形MONP,求点P的轨迹.解法一(定义法)：IMP1=IoN1=2,所以动点P在以M为圆心，半径为2的圆上.又因为四边形MoNP为平行四边形，所以o,M,P不共线.当点尸在直线OM上时有x=-点尸号或x=-g,y=考.因此所求轨迹为圆(x+3)2+(y-4)2=4,215-z(点和9-V-Zfv占八在除法二(代入法)：如图所不，设尸,y),Mmh光)，则线段OP的中点坐标为停，?，线段MN的中点坐标为C展，.由于平行四边形的对角线互相平分，故方=呼，o=+3,从而，又点Na+3,y4)在圆上，故(x+3)2+(y-4)2=4.1yO=厂4，当点P在直线OM上时，有=一3，丁=号或x=一

8、卷，y=g因此所求轨迹为圆a+3)2+14)2=4,除去点(一3,券)和点(一看，T).I通性通法I求解与圆有关的轨迹问题方法(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程;(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程；(3)几何法：利用圆的几何性质列方程：(4)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等.跟踪训练1 .已知圆O：x2+y2=4及一点P(1,0),。在圆O上运动一周，PQ的中点M形成轨迹C,则轨迹C的方程为.解析：设M(x,y),Qa0,W),则有,诏+y=4,Iy=2,(2x+1)2+(2j)2=4,(x+)j2=1.答案：(X+0+y2=2 .已知坐标平面上动点Ma

9、,y)与两个定点P(26,1),(2,1),且IMPI=5MQ1.求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形.解:由题意得d(-26)2+(yi)2=5y(X2)2+(),一1)2整理得x2y2-2-2y23=0,所以点M的轨迹方程是(X1)2+。-1)2=25.轨迹是以(1,1)为圆心，5为半径的圆.因随堂检测1.已知圆的方程是x2+y2-2-4=0,则该圆的圆心坐标及半径分别为()(1,0)与5C.(-1,0)与5(1,0)与小(-10)-5解析：B由圆的一般方程为f+y22x4=0,配方得圆的标准方程为(x1)2+y2=5,所以圆心坐标为(1,0),半径为小.故选B.3 .若直线2ry=0过

10、圆x2y-2x4y=0的圆心，则m的值为()B.-1C.-2解析：D圆的标准方程为(x1)2+6+2)2=5,则圆心坐标为(1,-2),直线2x+yn=0过x2+y2-2x+4y=0的圆心.12-2+m=0得m=0.4 .若两定点A,8的距离为3,动点M满足IMAI=2MB,则点M的轨迹围成区域的面积为()A.B.2C.3D.4Ji解析：D以点A为坐标原点，射线AB为“轴的非负半轴建立孑一直角坐标系，如图.设点M(X,y)t则f+y2=2(X3)2+人,(5)4A*一化简并整理得(x4)2+y2=4,于是得点M的轨迹是以点(4,0)为圆心，2为半径的圆，其面积为4冗，所以M点的轨迹围成区域的面

11、积为4五.故选D.4 .(多选)下列方程表示圆的是()A. 23j2f-1=0B. x2+y2+2x+2)，-2=0C. +-3x+y+4=0D. 2x2+2y2+4x+5+1=0解析：BD对于A选项，方程，+9+个一1=0中有孙项，该方程不表示圆；对于B选项，对于方程x2+y2+2+2y-2=0,.22+22-4X(-2)O,该方程表示圆;对于C选项，对于方程J2+3?-3x+y+4=0,.(-3p+1?-4X4+1=0可化为x2+y2+2r+y+5=0,V22+)一40,该方程表示圆.故选B、D.5 .过0(0,O),A(3,0),8(0,4)三点的圆的一般方程为.化成一般解析：该圆的圆心为(|,2),半径为|,故其标准方程为G方程为2v2-3-4y=0.答案：x2+y2-3x4y=0