2023-2024学年人教B版选择性必修第一册 1-1-1 第二课时 空间向量的数量积 学案.docx

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1、第二课时空间向量的数量积新课程标准解读核心素养1.掌握空间向量的数量积及其性质直观想象2.了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义数学运算Sr读I教I材知识梳理以本为本抓双基泣情境导入如果一个物体在力广的作用下产生位移S,那么力尸所作的功W=Q叫作a与tb.)的数量积(也称为内积)，记作已知两个韭重向量Q,b,在空间任取一点0,作况=Q,Oii-b.则/AOA叫做向量Q与b的央角3 .数量积的几何意义(1)向量的投影如图所示，过a的始点和终点分别向b所在的直线作垂线，即可得到向量a在向量b上的投影a1也a(2)数量积的几何意义：a与b的数量积等于a在b上的投影a，的数量与b的长度的乘积，特别地

2、，a与单位向量e的数量积等于a在e上的投影矛的数量.规定零向量与任意向量的数量积为0.4 .空间向量数量积的性质(1)abab=0;(2)88-8p-8;(3)abab;(4)(za)b=(ab);(5)ab=ba(交换律)；(6)(a+b)c=ac+bc(分配律).口想一想1 .当两个非零向量同向时，它们的夹角为多少度？反向时，它们的夹角为多少度？提示：01802 .空间向量a在向量b上的投影是向量吗？提示：是向量.侈做一做1 .下列命题中正确的是()A. (ab)2=a2b2B. ababC. (ab)c=a(bc)D.若a_1(bc),则ab=ac=O解析：B对于A项，左边=IaF1b1

3、2cos2(a,b),右边=IaFIb，左边右边，故A错误.对于C项，数量积不满足结合律，C错误.在D中，Va(b-c)=0,Aabac=0,.,.ab=ac,但ab与ac不一定等于零，故D错误.对于B项，Vab=abcos,IWcos=(foc=Cobic=60o.1(1)OA-OB=OAI1OBICoSNA08=11cos60。=?(2)(oa+)(c+c)=(0+7-c+W-c)=(S7+BCA+OB-2OC)=+2OAOB2OAOC-irff2OB0C=2+2I1Xcos60o-21X1Xcos60+12211cos600=+1-1+-1=1鼠母题探究(变条件，变设问)在本例条件下，若

4、E,尸分别是。4OC的中点，求：京Ai(2)京A；(3)EFCB.,J-41_一，A1:,A,_，A.二A.1(3) EFCB=1ACCB=习ACCBcosAC,CB)=ECOS1200=一不角度二空间向量的投影【例2】(2023辽宁营口市庙二月考)已知a=4,空间向量e为单位向量，a,e)=2亍，则空间向量a在向量e方向上的投影的数量为()A.2B.-2C.D.2解析由题意，a=4,e=1,=与，则空间向量a在向量e方向上的投影2aeIaIIe1COSTf1数量为丁：=-4X习=-2.故选B.ee答案BI通性通法I求空间向量数量积的步骤(1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式；(

5、2)利用向量的运算律将数量积展开，转化成已知模和夹角的向量的数量积;(3)根据向量的方向，正确求出向量的夹角及向量的模；(4)代入公式ab=ab卜COS求解.注意在求两个向量夹角时，要注意向量的方向.Gf跟踪训练1.在棱长为1的正方体A848CQ中，设7*=a,AD=b,A4?=c,则a(b+c)的值为()A.1B.0C.-1D.2解析：B由题意可得A8_1Az),AB-1AAit所以a_1b,ac,所以ab=0,ac=0,所以a(b+c)=ab+ac=O,故选B.2.在四面体OABC中，棱。4,OB,OC两两垂直，且OA=1,08=2,OC=3,G为ABC的重心，则OG(OA+08+OC)=

6、.解析：由已知次ob=oa=off-5?=o,且/=f+3?+力?)，故灰Coa-ob+-c)=(W+ob+c)2=(2+ob2+c2)=(1+4+9)=y.14答案：y题型二空间向量的夹角【例3】己知空间四边形OABe各边及对角线长都相等，E,尸分别为A8,OC的中点，求向量碇与方产夹角的余弦值.解如图，设。4=a,OB=b,OC=c,且IaI=IbI=IC1=1易知ZAOB=ZBOC=ZAOC=y,则ab=bc=ca=.：OE=(0A+M)=(a+b),BF=0F-0B=OC-0B=C-b,.,.OEF=(a+b)(jc-b=ac+bc-ab-|b2=.又留I=7百=坐，,一一、OEBF2

7、.cosOE,BF-=一OEBF向量0点与0产夹角的余弦值为一半I通性通法I求空间向量的夹角ab求两非零向量的夹角。或其余弦值一般利用夹角公式COS=J求解，当夕WabOab0,8w借，eab0转化为解不等式(组).【注意向量海与向量的夹甭为NBAC而与H的夹角为ZBAC.。跟踪训练如图，在正方体ABCD-4BGD中,EtF,G,“分别为AA,AB,BB1tBCi的中点,则向量了F与出的夹角等于(A.45C.90oD.120解析：B因为E,F,G,”分别是所在棱的中点.所以由三角形中位线定理可得,了才与石君同向共线，,与阮T同向共线，了天，G)=(MT,在正方体中AAiBG为等边三角形，Cfe

8、,gh）=（前，bc）=60。，故选B.题型三利用空间向量的数量积求距离例4已知正方形ABCD,ABEF的边长均为1,且平面ABCD1.5Fff1ABEF,点M在AC上移动，点N在B尸上移动，若ICMT8N=(02).(1)求线段MN的长；(2)当。为何值时，线段MN最短?解（1）由已知得=1F=2,即MN的长度为2J+2)(2)由(1)知当=乎，即M,N分别是AC,B尸的中点时，MN的长度最小，最小值为乎.I通性通法I1 .求两点间的距离或线段长度的方法(1)将此线段用向量表示；(2)用其他已知夹角和模的向量表示该向量；(3)利用同=口,通过计算求出同，即得所求距离.2 .本例中M,N分别为

9、AC,8尸上的动点，因此CM,BN的长度是变量，故MN的长度是一个关于。的函数，MN长度的最小值的求解用到了二次函数的有关知识，体现了函数思想的运用.Z跟踪训练平行六面体(底面是平行四边形的四棱柱)A8)-ABGd过顶点A的三条棱的夹角分JTJTJT别是.，彳，y,所有的棱长都为2,则AG的长等于()A.32B.23C.25-2D.25+2解析：DVACT=AB+AD+47,ac=(4?+a?aa)=12+32+aa2+2(.AA1)-AHAAIA1)AAh43+222+22+22-)=20+42=25+2,故选D.园随堂检测1.在正方体ABCD-A归IGU中，下列各对向量夹角为45。的是（）

10、A.7?与求IB.AR*与&AC.7*与川万D.7?与瓦不解析：AA、B、C、D四个选项中两个向量的夹角依次是45。，135。，90,180,故选A.2 .在空间四边形ABCO中，ABCD+ACDB+ADBC=()A.-1B.0C.1D.不确定则a与b的夹角解析：B如图，令谪=a,AC=b,AD=c,则海CD+ACDB-VADBC,=a(c-b)+b(a-c)+c(b-a),=ac-ab+ba-bc+Gb-Ga=O.故选B.3 .已知空间向量a,b,C满足a+b+c=0,a=2,b=3,c=4,为()A.30oB.45C.60oD.以上都不对解析：D设a与b的夹角为伍由a+b+c=O,得a+b

11、=-c,两边平方，得a?+2abb2=c2,因为a=2,b=3,c=4,所以4+2X2X3CoS6+9=16,解得COSO=I，故选D.4 .（多选）已知长方体A8CD-ASGO,则下列向量的数量积可以为。的是（）B.BDACD.BDBCA.ADBCC.BadT解析：ABC如图所示，若AA1=AO,则AQ18C,A正确；若AB=AD,则BDiACtB正确；TAB1平面AADDf，AB_1AD1,C正确；8。和BC分别为矩形AN1CB的对角线和边，两者不可能垂直，D错.故选A、B、C.5 .如图所示，平行六面体ABCZ）-A1BQG中，AB=Az）=1AA1=1,NOA8=60。，NOAA1=N84=45。，则AG=.解析：在平行六面体ABCD-ABCD中，T=AB+AD+aa7,所以ITF=ISrF=I7百f+ad+25*+21DA7=424D2+A412+2M*10cosZ