2023-2024学年人教A版选择性必修第一册 3-1椭圆3-1-2椭圆的简单几何性质第2课时椭圆的标准方程及性质的应用 学案.docx

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1、第2课时椭圆的标准方程及性质的应用学习任务核心素养1 .进一步掌握椭圆的方程及其性质的应用，会判断直线与椭圆的位置关系.(重点)2 .能运用直线与椭圆的位置关系解决相关的弦长、中点弦问题.(难点)1 .通过直线与椭圆位置关系的判断，培养逻辑推理素养.2 .通过弦长、中点弦问题及椭圆综合问题的学习，提升逻辑推理、直观想象及数学运算素养.必备知识情境导学探新知情境趣味导学预习素养感知【情境与问题22类比点与圆的位置关系，点尸(施，W与椭圆!+S=1(a60)有怎样的位置关系？知识点1点与椭圆的位置关系22点P(X0,与椭圆了+1=1(abO)的位置关系：点尸在椭圆上噂上=1；22点夕在椭圆内部台与

2、+借1知，点P(2,1)在椭圆的外部.(2)Y点火在椭圆内部,-+1,a2,/.y2ia力0)的位置关系的判断方法：联立，-yab1+了=匕消去必得关于X的一元二次方程.当40时，方程有两个不同解，直线与椭圆相交；当4=0时，方程有两个相同解，直线与椭圆相切；当/bO)或-7+7=1(abO),直abab线与椭圆的两个交点为加如1),夙及，/2),则IAB=71+k*xm+x94为才2,或IAB=1+*Ny+4-4My2,其中，小+.，加小或m+%,也的值，可通过由直线方程与椭圆方程联立消去y(或x)后得到关于近或。的一元二次方程，利用根与系数的关系求得.体验/2.思考辨析(正确的打“J”，错

3、误的打“X”)(1)若直线的斜率一定，则当直线过椭圆的中心时，弦长最大.()(2)己知椭圆当+方=1(&力0)与点P(b,0),过点P可作出该椭圆的一条切线.a0()OOYV(3)直线y=履升一血(AWo)与椭圆=十/=1的位置关系是相交.ab()提示(1)根据椭圆的对称性可知，直线过椭圆的中心时，弦长最大.(2)因为2(6,0)在椭圆内部，过点尸作不出椭圆的切线.9X(3)直线y=A(xa)(40)过点(a,0)且斜率存在,所以直线y=*(-a)与椭圆-7+Q5=1的位置关系是相交.关犍能力合作探究释疑难疑难问题解惑学科素养;I1类型I直线与椭圆的位置关系22【例1】已知直线/：y=2x+m

4、,椭圆G今+=1.试问当卬取何值时，直线/与椭圆G(1)有两个公共点；(2)有且只有一个公共点；(3)没有公共点.)y=2x+m,+/=1消去人得99+8/x+2疡4=0.方程的判别式=(82-49(2Z-4)=-8+144.(1)当40,即一3、PVRV34时，方程有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解.这时直线/与椭圆C有两个公共点.(2)当J=O,即卬=3蛆时，方程有两个相同的实数解，可知原方程组有两组相同的实数解.这时直线,与椭圆C有且只有一个公共点.(3)当/V0,即加V-35或加3啦时，方程没有实数解，可知原方程组没有实数解.这时直线/与椭圆C没有公共点.1辰思领悟直线

5、与椭圆有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程组是否有实数解或实数解的个数问题，此时要注意分类讨论思想和数形结合思想的运用.跟进训练1 .在平面直角坐标系。灯中，经过点(0,m)且斜率为的直线/与椭圆5+7=1有两个不同的交点尸和求A的取值范围.解由已知条件知直线/的方程为尸奴+斓，代入椭圆方程得+(履+/)三1，直线1与椭圆有两个不同的交点尸和0等价于=8A2-+=U2-20,解得内一平或心半，所以A的取值范围为（一8,一乎）u惇，+g）.口类型2弦长和中点弦问题2 2【例2】过椭圆3+9=1内一点以2,1）引一条弦，使弦被罚点平分.104（1）求此弦所在的直线方程；

6、（2）求此弦长.尝试与发现弦的中点坐标已知，则弦的两端点的横纵坐标之和可求，由此思考解决问题的方法.解（D法一：设所求直线方程为y-1=*J2）.代入椭圆方程并整理，得（4Ag+1）V8（2片A）x+4（2左一I）216=0.又设直线与椭圆的交点为-ay1）,Ba,则由，M是方程的两个根,T日182#一4于是汨+x=44+又也为49的中点，*上=器J=2,乙TAI1解得A=T故所求直线的方程为+27-4=0.法二：设直线与椭圆的交点为力（汨，力），B（x2,72）.又玳2,1）为48的中点，.x+x2=4,m+%=2.又力，6两点在椭圆上，则+4jf=16,as4j=16.两式相减得（V於）+

7、4（一玲=0.于是（川十冠（X1X2）+4（%+刑）（一=0.弘一也为+及1日ri/1XX24y+j22又直线48过点机2,1）,故所求直线的方程为x2y-4=0.（2）设弦的两端点分别为4（ay）,B（X2,y2）,p+2y-4=0,由Vy_得X24x=0,.Xi+x2=4,tix2=0,I16+T=bIAB=J1A2yX-X2-4xx2=J1+-4x0=26母题探究1.本例中把条件改为“点M2,D是直线x+2y4=0被焦点在*轴上的椭圆所截得的线段的中点”，求该椭圆的离心率.解设直线与椭圆的两交点为（小，M）,（如/2）则汨+尼=4,y+必=2.由W+,=1和岑4=1,aDab组4x一数2

8、力一.y-y221abx-zay又x+2y4=0的斜率为-5,F=.Za4所以椭圆的离心率为e=:=qs=y乎.2.把本例条件中“使弦被加点平分去掉”，其他条件不变，求弦的中点尸的轨迹方程.解设弦的中点为P（My）,两端点的坐标为（m,%）,（照,y2）,则.2xxx:2yy-y-164-k,yyx从而ki=.X1X2y7zy.一彳.T义kk；1X4y_-2,整理得X4y2v4y=0.故轨迹方程为f+4-2-4y=0.（椭圆内的部分）试总结用“点差法”求解弦中点问题的解题步骤.提示设点一一设出弦的两端点坐标；代入一一代入圆锥曲线方程；作差一一两式相减，再用平方差公式把上式展开；整理一一转化为斜

9、率与中点坐标的关系式，然后求解.跟进训练2.(1)已知P(Ij)为椭圆彳+行=1内一定点，经过产引一条弦，使此弦被尸点平分，则此弦所在的直线方程为.22(2)已知斜率为2的直线,经过椭圆5+J=1的右焦点内，与椭圆相交于爪A两点，求弦的长.(1)x+2y-3=0法一：易知此弦所在直线的斜率存在，所以设其方程为y-=k(x1)弦的两端点为4B,1(xty1),B(X2,72).Fy-I=Ax-I,由，金+3_消去y得(22+1)44(4一1)x+2(2-2-D=0,m+照Akk-I=WrAbb-111又.N+x2=2,布丁=2,解得=一亍故此弦所在的直线方程为11=-(x1),即法二：易知此弦所

10、在直线的斜率存在，所以设斜率为设弦的两端点为力，B,A(x,M),B(x2,2),则22抖*1，,1XGn,Xi+aT1照1m+总刃一%.C.C7+3=，一得+n=0,A1+也=2,M+%=2,X-X2./J-J21.-0-+乃一度=0，=-O-2X1X?2此弦所在的直线方程为yT=-)(-D,即x+2y-3=0.解因为直线/过椭圆?+=1的右焦点E(1,。)，又直线的斜率为2,所以直线/的方程为y=2(-1),即2xy2=0.法一：解方程组1,2xy2=0,得交点/1(0,2),/0所以I48|=yxA-X-yAYb2-y-2=Q消去y得3/5彳=0,因为=(-5)2=25O,5则i2=,X

11、i2=0.J所以148=yx-y-yi=yXX21A?出=-1xi2-4xia2=J(122)m2-4=.I1类型3与弦长有关的最值、范围问题22【例3】(2023北京高考)已知椭圆85+5=ig6)过点力(，一2)，以四个顶点围成的四边形面积为45.(1)求椭圆的标准方程；(2)过点尸(0,-3)的直线，的斜率为A,交椭圆少于不同的两点8C,直线43交y=一3于点M直线交尸一3于点M若I掰+1/WIW15,求A的取值范围.解(D因为椭圆过点力(0,-2),所以6=2.以四个顶点围成的四边形面积为45,2a2b=2ab=45.=2,Ca=yf联立2=45,解得6=2,Ia2=Z?2+cfIc=I,22故椭圆的标准方程为9+9=1.(2)由题意可得，直线/的斜率存在，且直线/的方程为y=取一3,设庾汨，y),C(xz,fy=A-3联立2+5/=20(5A2+4)/-30+25=0,=(一304)24(52+4)25=4002-1)0,故1或k+451+4=3620/4854+4-5+4+4=5A15,即AW3,解得一3WAW3.综上，A的取值范围为-3,-1）U（1,3.J5,思领悟*求与椭圆有关的最值、范围问题的方法（1）定义法：利用定义转化为几何问题处理.(2)数形结合法：利用数与形的结合，挖掘几何特征，进而求解.(3)函数法：探求